I numeri Fn di Fermat (1601-1655) sono così definiti:

Numero n-esimo di Fermat

dove n è un intero non negativo. Ecco i primi cinque:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Questi cinque interi sono primi, e ciò condusse Fermat a formulare l'ipotesi che gli Fn siano primi per ogni n.

Nel 1732 Eulero scoprì che ogni divisore di Fn è della forma k 2n+2 + 1.
Nel caso di F5, per k=1,2,3,4,5 troviamo 129, 257, 385, 513, 641;
solo 257 e 641 sono primi, e 641 divide F5.
Si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

Gauss dimostrò che si può costuire con riga e compasso un poligono regolare con n lati se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Questo è un risultato straordinario e sorprendente. Per esempio ne segue che si può costruire con riga e compasso un poligono regolare con 17 lati, ma non un con 13 o 19 lati!

Si dimostra (teorema di Pepin) che Fn è primo se e solo se 3(Fn-1)/2 º -1.

Si prova che Fn = F0 F1...Fn-1 + 2. Questo risultato à stato utilizzato da Polya per provare che esistono infiniti numeri primi.

I numeri di Fermat crescono in modo doppiamente esponenziale e diventano grandissimi con estrema rapidità al crescere di n.
Alcuni fattori primi dei numeri di Fermat hanno dimensioni spettacolari!
Recentemente John B. Cosgrave ha trovato un divisore primo di F2145351 (sic). Questo numero primo possiede ben 645817 cifre, ed è 3 22145353+1. E' il quinto numero primo oggi noto (in ordine di grandezza ovviamente) ed è il più grande oggi noto tra i primi non - Mersenne

Maggiori dettagli sulla pagina di Cosgrave.