25 agosto 2003

I quadrati magici

Un quadrato magico di ordine n è una scacchiera quadrata nxn nella quale sono elencati i numeri interi da 1 a n², in modo tale che ogni riga, ogni colonna ed ognuna delle due diagonali diano come somma lo stesso numero, detto costante. La costante c(n) del quadrato magico di ordine n si può facilmente calcolare. La somma degli interi da 1 a m vale m(m + 1)/2, dunque la somma di tutti i numeri contenuti nel quadrato magico vale n²(n²+1)/2. Poiché la somma è costante per ogni riga, si ha:

per ogni n:
c(n) = n(n2+1)/2

Questa successione fa parte della On Line Encyclopedia of Integer Sequences, dove si possono trovare alcuni interessanti commenti su di essa.

Il quadrato magico di ordine 1 è semplicemente il numeo 1. Si constata immediatamente che non esistono quadrati magici di ordine 2 (con costante 5). Vedremo nel seguito che per ogni n diverso da 2 esiste un quadrato magico di ordine n. Anzi impareremo come costruirli.

Ricominciamo dunque da 3, che è l'ordine del più piccolo quadrato magico non banale. Questo quadrato risale secondo alcune fonti addirittura al 2800 aC, anche se J. Needham ci informa che non esistono documenti accertati anteriori al IV secolo aC. Questo quadrato magico primordiale si chiama Lo Shu, ed è mostrato nella figura sottostante.

I numeri dispari sono rappresentati da pallini bianchi (simboli yang, emblema del cielo, maschile) e i numeri pari da pallini neri (yin, emblema della terra, femminile). In notazione decimale:

Un quadrato magico rimane tale se sottoposto a rotazioni di 0, 90, 180, 270 gradi o alle riflessioni rispetto alle due mediane e alle due diagonali principali. Diciamo isomorfi due quadrati magici che si ottengano uno dall'altro mediante una di queste otto trasformazioni. A meno di isomorfismi esiste un unico quadrato magico di ordine tre, Lo Shu! Esistono invece 880 quadrati magici non isomorfi di ordine 4, e 275.305.224 di ordine 5 (Schroepplel, 1973); i risultati più recenti si trovano nel sito di Walter Trump.

Il famoso Cornelio Agrippa (1486 - 1535) costruì i quadrati magici di ordine 3,4,5,6,7,8,9, che egli associava ai sette "pianeti" astrologici: Saturno, Giove, Marte, il Sole, Venere, Mercurio e la Luna. Tavole e commenti si possono trovare nelle pagine di Fabrizio Privari e nel libro di John King.

Oltre a Lo Shu, esiste un altro famosissimo quadrato magico, di ordine 4, inciso da Dürer in Melancolia I:

Allo studio di questa incisione è dedicata tutta la IV parte del libro Saturno e la melanconia. Il quadrato magico si trova in alto a destra, sotto la campana, ed è questo:

Questo quadrato è associato a Giove dagli alchimisti, ed era considerato un talismano capace di attirare la sua influenza salutifera, specialmente efficace contro quella che oggi chiamiamo depressione. In Paracelso si legge: "...questo simbolo allontanerà tutte le preoccupazioni e la paura".

1 - Costruire un quadrato magico di ordine m, per ogni m dispari - Questo metodo è dovuto a Simon De La Loubère (ambasciatore di Luigi XIV in Siam). Consideriamo una tabella vuota mxm, e etichettiamo le sue caselle con le coppie (i, j), dove i e j variano entrambi tra o ed m-1, e la numerazione cresce dall'alto in basso e da sinistra a destra. Per esempio, con m = 5 abbiamo:

Immaginiamo ora di incollare il bordo superiore con quello inferiore, e il bordo sinistro con quello destro, ottenendo così una ciambella (tecnicamente un toro): ci muoveremo su questa superficie. Eseguiremo due passi fondamentali:
1) verso la casella in alto a destra (nord-est)
2) verso la casella sottostante

il passo 1 ci fa passare dalla casella (i, j) alla casella (i-1, j+1)
il passo 2 ci fa passare dalla casella (i, j) alla casella (i+1, j)
somme e sottrazioni sono fatte modulo m

Esaminiamo il passaggio dalla fase (3) alla (4). In (3) l'ultimo numero scritto è 8 e siamo in (0,3), passiamo a (-1,4) = (4,4) e scriviamo 9; andiamo in (3,5) = (3,0) e scriviamo 10. Ora la casella (2,1) in alto a destra è occupata dal numero sei, pertanto scendiamo di uno e scriviamo 11 in (4,0): ora possiamo riempire tutta la seconda diagonale con i numeri 12, 13, 14, 15 e siamo in (0,4). Proseguendo in diagonale si ritrova la casella (4,0), già riempita con 11. Un passo in basso e scriviamo 16 in (1,4). Poi si passa alla fase (5), e in (6) infine abbiamo il nostro quadrato magico di ordine 5.

Questa tecnica funziona con tutti gli ordini dispari. Il caso pari è più complicato.

2 - Costruire un quadrato magico di ordine 2^k per ogni k maggiore di 1 - Esaminiamo la Figura 3:

(1) Scriviamo in una tabella 4x4 i numeri da 1 a16, consecutivamente.
(2) La somma di entrambe le diagonali è la costante c(4) = 34, e le lasciamo invariate.
(3) Gli otto numeri rimasti formano quattro coppie i cui elementi vengono permutati.
(4) Si è così ottenuto un quadrato magico di ordine 4.

Guardiamo ora la Figura 4:

Ci sono due gruppi di due colonne. Nel primo gruppo sono elencati verticalmente i numeri da 1 a 4 affiancati dai loro complementi a 17 (4²+1), nel secondo i numeri da 5 a 8 con i relativi complementi. Se elenchiamo i numeri seguendo i percorsi segnati troviamo quattro righe:

1  15 14 4
16 2  3  13
5  11 10 8
12 6  7  9

Dobbiamo partire dal disegnare un analogo della Figura 4:

Ora ci sono quattro gruppi di due colonne. Nelle colonne di sinistra sono elencati i numeri consecutivi da 1 a 32, suddivisi in quattro parti. Nelle colonne di destra sono elencati i loro complementi a 65 (8²+1). Seguendo i percorsi, scriviamo otto righe:

1  63 62 4  5  59 58 8
64 2  3  61 60 6  7  57
9  55 54 12 13 51 50 16
56 10 11 53 52 14 15 49
17 47 46 20 21 43 42 24
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
40 26 27 37 36 30 31 33

Ognuna delle otto righe ricavate dalla Figura 5 entra - così come è o scritta al contario - in una sola riga della Figura 6, se si rispettano i numeri in essa segnati (l'ossatura del quadrato). Se facciamo questa sostituzione otteniamo un quadrato magico 8x8:

E' chiaro ora come si deve procedere per un ordine n = 2^k, k maggiore di 1:

1) Si dividono gli interi tra 1 e 22k-1 in 2k-1 gruppi di 2k
   interi consecutivi
2) A fianco di ogni intero si scrive il complemento a 22k+1
3) Si tracciano i percorsi come nelle Figure 4 e 5
4) Si crea l'ossatura del quadrato,come in Figura 6
5) Dai percorsi del punto 3 si ricavano 2k righe
6) Si sistemano queste righe, o i loro contrari, nell'ossatura,
   nel solo modo possibile

3 - Costruire un quadrato magico di ordine 2m, con m dispari - Questo metodo è dovuto a Ralph Strachey (1868-1923). Si parte con un quadrato magico A di ordine dispari qualsiasi m (se non ne abbiamo, possiamo costruirlo con il metodo visto di De La Loubère). Si costrisce una matrice maschera M 2mx2m in questo modo (si veda la pagina di Aale de Winkel):

Matrice maschera M
3 .. 3 0 3 .. 3 0 .. 0 3 0 .. 0 (1 riga)
3 .. ..... .. 3 0 .. ..... .. 0 ((m - 3) / 2 righe)
0 .. 0 3 0 .. 0 3 .. 3 0 3 .. 3 (1 riga)
0 .. ..... .. 0 3 .. ..... .. 3 ((m - 1) / 2 righe)
2 .. ..... .. 2 1 .. ..... .. 1 ((m + 3) / 2 righe)
1 .. ..... .. 1 2 .. ..... .. 2 ((m - 3) / 2 righe)

    Matrice A
    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9

    Matrice maschera M
     3     3     0     3     3     0     0     3     0     0
     3     3     3     3     3     0     0     0     0     0
     0     0     3     0     0     3     3     0     3     3
     0     0     0     0     0     3     3     3     3     3
     0     0     0     0     0     3     3     3     3     3
     2     2     2     2     2     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2     1     1     1     1     1
     1     1     1     1     1     2     2     2     2     2

    Matrice B = 25 M
    75    75     0    75    75  ;   0     0    75     0     0
    75    75    75    75    75  ;   0     0     0     0     0
     0     0    75     0     0  ;  75    75     0    75    75
     0     0     0     0     0  ;  75    75    75    75    75
     0     0     0     0     0  ;  75    75    75    75    75
    ---------------------------------------------------------
    50    50    50    50    50  ;  25    25    25    25    25
    50    50    50    50    50  ;  25    25    25    25    25
    50    50    50    50    50  ;  25    25    25    25    25
    50    50    50    50    50  ;  25    25    25    25    25
    25    25    25    25    25  ;  50    50    50    50    50

    Quadrato magico di ordine 10 generato da A
    92    99     1    83    90    17    24    76     8    15
    98    80    82    89    91    23     5     7    14    16
     4     6    88    20    22    79    81    13    95    97
    10    12    19    21     3    85    87    94    96    78
    11    18    25     2     9    86    93   100    77    84
    67    74    51    58    65    42    49    26    33    40
    73    55    57    64    66    48    30    32    39    41
    54    56    63    70    72    29    31    38    45    47
    60    62    69    71    53    35    37    44    46    28
    36    43    50    27    34    61    68    75    52    59

Abbiamo quindi A = Malinconia, B = Lo Shu, m = 4, n = 3, e l'ordine del prodotto C sarà 12, con costante c(12) = 870. Il quadrato a sinistra del prodotto, quello che abbiamo chiamato A, dà la "forma" al prodotto, mentre B partecipa unicamente al contenuto. Si costruisca un qudrato C di ordine mn (12 nel nostro caso), e lo si suddivida in m² (16) quadrati di ordine n (3). Si copi A in questi riquadri, così:

Ora al posto di 1 si sotituisca il quadrato B, al posto di 2, B + n², al posto di 3, B +2n² ....

.... al posto di k, B + (k-1)n² (nel nostro caso B + (k-1) 9). Sotto si vede il risultato finale A x B, nel nostro caso particolare:

    Quadrato magico prodotto di Malinconia e Lo Shu
   143   136   141    26    19    24    17    10    15   116   109   114
   138   140   142    21    23    25    12    14    16   111   113   115
   139   144   137    22    27    20    13    18    11   112   117   110
    44    37    42    89    82    87    98    91    96    71    64    69
    39    41    43    84    86    88    93    95    97    66    68    70
    40    45    38    85    90    83    94    99    92    67    72    65
    80    73    78    53    46    51    62    55    60   107   100   105
    75    77    79    48    50    52    57    59    61   102   104   106
    76    81    74    49    54    47    58    63    56   103   108   101
    35    28    33   134   127   132   125   118   123     8     1     6
    30    32    34   129   131   133   120   122   124     3     5     7
    31    36    29   130   135   128   121   126   119     4     9     2

    [***]
Ci,j = Bu,v + (Ak,s -1) n2
dove:
u = i mod n
v = j mod n
k = [i/n]
s = [j/n]

C10,6 = B1,0 + (A3,2 -1) 32 =
= 3 + 13 9 = 120

somma di una riga di AxB =
= m c(n) + n3 (c(m) - m) =
= c(mn)

Questo prodotto è definito nell'insieme di tutti i quadrati magici. E' associativo e ha [1] come elemento neutro. Non è commutativo, come si può verificare immediatamente calcolando Lo Shu x Malinconia. E' interessante pensare ad un analogo dei numeri primi, in questo nuovo ambiente algebrico. Sono "primi" i quadrati magici P diversi da [1] tali che se P = AxB allora P = A oppure P = B. Siccome l'ordine del prodotto è mn, sono certamente primi i quadrati di ordine primo p, o di ordine 2p - perché non esistono quadrati magici di ordine 2. Se è dato un quadrato M di ordine n (n diverso da p o 2p con p primo), e si conosce la fattorizzazione di n, non è difficile - vista la particolare forma dei prodotti - vedere se M è primo o composto. Il lettore attento scoprirà immediatamente che il quadrato della Luna di Agrippa (di ordine 9) è primo:

In queste pagine di Allan Adler viene presentato un esempio di attività didattica che fa uso dei quadrati magici e si potrebbe svolgere in un'aula di scuola media, ma anche - secondo me - al primo anno del corso di Laurea in Matematica, quando gli studenti affrontano per la prima volta strutture algebriche non numeriche.

5 - Conclusione - Siamo ora in grado di generare un quadrato magico di ordine qualsiasi n maggiore di 2:
Scriviamo n nella forma 2^km, con m dispari.
Se m = 1 si usa il metodo 2. Supponiamo allora m diverso da 1.
Se k = 0 si usa il metodo 1.
Se k = 1 si usa il metodo 3.
Infine se k è maggiore di 1 si costruiscono A di ordine 2^k con il metodo 2 e B di ordine m con il metodo 1, e si calcola il loro prodotto.

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23 luglio 2003

Archimede, i buoi del sole,
l'equazione di Pell e le frazioni continue (II)

Abbiamo visto nel blog precedente che per risolvere completamente il problema di Archimede occorre trovare le soluzioni della seguente equazione di Pell:

[15]
X2 - 410286423278424  Y2 = 1

Cominciamo con l'osservare che:

[16]
d = 410286423278424 = (2 4657)2 d'
con d' = 4729494

[17]
x2 - d y2 = 1 se e solo se
x2 - d' (2 4657 y)2 = 1

[18]
x2 - d' y2 = 1

Passo 1
Per risolvere la [18] dobbiamo sviluppare in frazione continua la radice quadrata di 4729494. Otteniamo:

[2174, 1, 2, 1, 5, 2, 25, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 1, 2, 16, 1, 
 
 2, 1, 1, 8, 6, 1, 21, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 1, 5, 1, 17, 
 
 1, 1, 47, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 47, 1, 1, 17, 1, 5, 1, 1, 6, 2, 
 
 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 21, 1, 6, 8, 1, 1, 2, 1, 16, 2, 1, 15, 1, 
 
 1, 1, 1, 1, 1, 3, 25, 2, 5, 1, 2, 1, 4348]

a = 109931986732829734979866232821433543901088049
b = 50549485234315033074477819735540408986340
a2 - 4729494 b2 = 1

Passo 2
Finora abbiamo usato solo le quattro operazioni. Trovare il minimo n tale che 2 4657 divide b_n richiede conoscenze matematiche un poco maggiori.
Sia D un intero e si consideri l'insieme S di tutte le coppie (x, y) dove x ed y sono numeri interi qualsiasi. In S introduciamo una operazione di prodotto @ nel seguente modo:

[19]
(x, y) @ (z, t) = (xz + Dyt, xt + yz) 

[20]
N(x,y) = x2 - D y2

[21]
N((x,y) @ (z,t)) = N(x,y) N(z,t)

[22]
U = { (x, y) appartenenti ad S tali che N(x, y) = 1}

L'operazione [19] non ha nulla di misterioso: se diciamo R la radice quadrata di D, allora il prodotto @ corrisponde esattamente alla moltiplicazione di (x + yR) per (t + zR). Se rileggiamo il teorema [14] in questa nuova luce, comprendiamo che le soluzioni intere positive della equazione di Pell sono semplicemente le potenze della soluzione minima mediante l'operazione @!

Facciamo un esempio con D = 19. La soluzione intera positiva minimale è (170, 39). La soluzione successiva è (170, 39)² = (170, 39) @ (170, 39) = (57799, 13260).
Il fatto che, data una soluzione della equazione di Pell, se ne possono produrre infinite applicando il prodotto @ era noto al grandissimo matematico Brahmagupta vissuto tra il 598 e il 670!

Torniamo ora al nostro problema. La soluzione minima di X² - 410286423278424 Y² = 1, in base alla [17], si otterrà da una potenza (a_n, b_n) di (a, b) , dove a e b sono quelli trovati nel Passo1. La potenza sarà fatta mediante l'operazione @ con D = 4729494, e bisognerà trovare il minimo n tale che 2 4657 divide b_n. E' immediato constatare che i b_n sono sempre pari, dunque è equivalente cercare il minimo n tale che 4657 divide b_n.
A questo punto dobbiamo utilizzare l'aritmetica modulare. Coloro che non la conoscono e desiderano una breve introduzione possono leggere questo articoletto dedicato alla Crittografia moderna.

Posto p = 4657 (che è un numero primo), consideriamo l'insieme S sopra definito modulo p. Gli elementi di S mod p sono ora le coppie (x, y) dove x ed y variano nell'insieme dei possibili resti di una divisione per p, ovvero variano tra 0 e p-1. Pertanto S mod p ha p² elementi. Indichiamo con S^* l'insieme ottenuto da S mod p privandolo dell'elemento (0, 0), dotato dell'operazione @ indotta da D. Si verifica che D = 4729494 non è un quadrato modulo p, e da questo segue che S^* è un gruppo di ordine p² - 1 = 21687648. In questo ambiente dobbiamo tovare la minima potenza di (a, b) mod p = (4406, 3051) tale che p divida la seconda coordinata. Ora, per il teorema di Lagrange, (a, b) ^21687648 = (1, 0), e quindi b _21687648 è divisibile per 4657. Non è detto però che questa sia la minima soluzione. Il minimo esponente andrà ricercato tra i divisori di 21687648 = 2⁵ 3 17 97 137. Dopo alcuni tentativi si trova che (4405, 3051)²³²⁹ mod 4657 = (4656, 0), e che la seconda coordinata non è nulla per nessun divisore più piccolo.

Abbiamo la soluzione!!

[23]
X = a2329
Y = b2329/(2 4657)

SOLUZIONE = 50389082 k = 50389082 3 11 29 4657 Y2

Questo numero ha ben 206545 cifre! L'ho calcolato e lo metto a disposizione di tutti qui. Attenzione a stamparlo, sono più di 40 pagine! Il calcolo esplicito è stato fatto nel 1965 su un IBM7040 e un IBM1620; il calcolo richiese complessivamente 7 ore e 49 minuti. Con un programma che ho scritto per Mathematica con un PC NT Pentium I a 300 Mhz ho impiegato 9,5 secondi. Con un PC Linux Pentium 3 a 1 GHz, lo stesso programma impiega 0,95 secondi.

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15 luglio 2003

Archimede, i buoi del sole,
l'equazione di Pell e le frazioni continue (I)

"Narrami, o Musa, dell'eroe multiforme, che tanto
vagò, dopo che distrusse la rocca sacra di Troia:
di molti uomini vide le città e conobbe i pensieri,
per acquistare a sé la vita e il ritorno ai compagni.
Ma i compagni neanche così li salvò, pur volendo:
con la loro empietà si perdettero,
stolti, che mangiarono i buoi del Sole
Iperione: ad essi egli tolse il dì del ritorno."
Odissea, traduzione di G. A. Privitera, Mondadori, Milano, Libro I, vv. 1 - 9

Lessing scoprì e pubblicò nel 1773 un manoscritto che conteneva, in ventidue distici, il seguente problema - attribuito ad Archimede (287-212 AC) :

Amico, se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in quattro gruppi di colori diversi: l'uno bianco come il latte, il secondo di color nero lucente, il terzo fulvo e il quarto screziato. In ciascun gruppo c'erano tori in quantità, divisi secondo la seguente proporzione:
1) Tori bianchi = tori fulvi + (1/2 + 1/3) dei tori neri.
2) Tori neri = tori fulvi + (1/4 + 1/5) dei tori screziati.
3) Tori screziati = tori fulvi + (1/6 + 1/7) dei tori bianchi.
4) Vacche bianche = (1/3 + 1/4) di tutti i bovini neri.
5) Vacche nere = (1/4 + 1/5) di tutti i bovini screziati.
6) Vacche screziate = (1/5 + 1/6) di tutti i bovini fulvi.
7) Vacche fulve = (1/6 + 1/7) di tutti i bovini bianchi.
Amico, se tu dirai veramente quanti erano i buoi del Sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri; tuttavia non sarai ancora annoverato tra i sapienti.

[1]
x = t + (1/2 + 1/3) y
y = t + (1/4 + 1/5) z
z = t + (1/6 + 1/7) x
x' = (1/3 + 1/4) (y + y')
y' = (1/4 + 1/5) (z + z')
z' = (1/5 + 1/6) (t  + t')
t' = (1/6 + 1/7) (x + x')

[2]
x = t 742/297
y = t 178/99
z = t 1580/891

[3]
{x, y, z, t} = {m 2226, m 1602, m 1580, m 891}

[4]
x' = (1/3 + 1/4) (m 1602 + y')
y' = (1/4 + 1/5) (m 1580 + z')
z' = (1/5 + 1/6) (m 891  + t')
t' = (1/6 + 1/7) (m 2226 + x')

[5]
x' = (7206360 m)/4657
y' = (4893246 m)/4657
z' = (3515820 m)/4657
t' = (5439213 m)/4657

[6]
x = 10366482 k
y = 7460514 k
z = 7358060 k
t = 4149387 k
x' = 7206360 k
y' = 4893246 k
z' = 3515820 k
t' = 5439213 k

8) Tori bianchi + tori neri = un numero quadrato.
9) Tori screziati + tori fulvi = un numero triangolare.
Se tu troverai queste cose e se in modo comprensibile indicherai tutte le misure, va' orgoglioso come colui che ha riportato la vittoria, e sarai giudicato del tutto provetto nella scienza.

Naturalmente un numero quadrato è semplicemente un quadrato, mentre ricordiamo che un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi j interi positivi. Sono triangolari: 1, 1+2 = 3, 1+2+3 = 6, 1+2+3+4 = 10 etc. I numeri triangolari formano la successione n(n+1)/2 al variare di n negli interi positivi. Da questo segue immediatamente che:

u è un numero triangolare se e solo se 8u + 1 è un quadrato

Dalla [6] otteniamo (fattorizzando 10366482 + 7460514):
(x + y) = k (2² 3 11 29 4657)
Pertanto, (x+y) è un quadrato se e solo se k = 3 11 29 4657 Y². Poniamo a = 3 11 29 4657 = 4456749.
Al tempo stesso si deve avere 8(z + t) + 1= X², ovvero:
8 (7358060 + 4149387) k + 1 = X², e sostituendo il valore di k trovato:
8 (7358060 + 4149387) a Y² + 1 = X², che diventa con calcolo immediato:

[7]
X2 - 410286423278424  Y2 = 1

[8]
X2 - D  Y2 = 1

[9]
[a1, a2, a3, .... , an, 2 a1]

[10]
a2, a3, .... , an, 2 a1

[11]
Poniamo P(0) = 0 e Q(0) = 1
per k = 1, 2, 3, ... calcoliamo:
ak = Int((P(k-1) + R)/Q(k-1))
P(k+1) = (ak Q(k) - P(k))
Q(k+1) = (D - P(k+1)2)/Q(k)

[12]
Poniamo ck = pk/qk
Poniamo: 
p1 = a1
p2 = a1 a2 +1
q1 = 1
q2 = a2
Per k = 3, 4, 5, ... calcoliamo:
pk = ak pk-1 + pk-2
qk = ak qk-1 + qk-2

[13]
Sia dato un intero positivo D non quadrato
Si calcoli lo sviluppo in frazione continua della radice quadrata di D
Diciamo n il periodo
Se n è pari la soluzione minima (X, Y) della [8] è:
X = pn, Y = qn
Se n è dispari la soluzione minima (X, Y) della [8] è:
X = p2n, Y = q2n

[14]
Diciamo R la radice quadrata di D
La [8] possiede infinite soluzioni intere positive (xn,yn)
Se (x1, y1) è la soluzione minima della [8]
trovata con l'algoritmo [13]
allora (xn,yn) è determinata in modo univoco dalla relazione:
xn + yn R = (x1 + y1 R)n

Ora possediamo tutti gli strumenti necessari per risolvere completamente il problema di Archimede!
Chi vuole provare?
"Se tu troverai queste cose e se in modo comprensibile indicherai tutte le misure, va' orgoglioso come colui che ha riportato la vittoria, e sarai giudicato del tutto provetto nella scienza."
La soluzione completa, commenti e riferimenti bibliografici al prossimo blog!

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28 giugno 2003

John Horton Conway, matematica e giochi
Angel Devil, Life

J H Conway, nato a Liverpool nel 1937, è uno dei più importanti matematici viventi. La sua passione per la matematica si manifestò fin dalla prima infanzia.Sua mamma ricorda che John a quattro anni "recitava" l'inzio della successione delle potenze di due: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...Come era suo desiderio, studiò a Cambridge, e fu allievo di Harold Davenport in teoria dei numeri. Prese il dottorato e fu nominato Lecturer all'Università di Cambridge nel 1964, coronando il suo sogno di bimbo undicenne.
Nel 1965 Leech trovò un impaccamento di sfere eccezionalmente denso nello spazio a 24 dimensioni. Leech era convinto che il gruppo delle simmetrie del reticolo sottostante fosse particolarmente interessante, ma non riusciva a determinarlo. Fu Conway che lo trovò, e questa scoperta cambiò la sua vita. Questo gruppo è una sorta di "mostro" (in senso etimologico). Quozientato sul centro (di ordine 2) ha ordine 8.315.553.613.086.720.000, è un gruppo semplice sporadico (non ha sottogruppi normali propri e non fa parte delle successioni standard di gruppi semplici, come per esempio gli Z_p con p primo o i gruppi alterni A _n, con n maggiore di 4). Nel 1970 Conway scopri i "numeri surreali" ( Surreal Numbers); in questo sistema numerico esistono numeri infiniti, infinitesimi attuali, e si può calcolare rigorosamente la radice quadrata di infinito meno uno...inoltre, alcuni di questi numeri rappresentano giochi combinatori!
J H Conway ha vinto il premio Nemmers nel 1998 ed il premio Steele nel 2000. E' autore di una decina di libri e di più di 130 articoli scientifici. Da tutti i suoi lavori traspaiono l'amore per la matematica, la gioia di capire, scoprire, risolvere.
Conway ha una vera passione per i giochi.
Accenneremo brevemente a due giochi creati da Conway.
Il gioco dell'angelo e del diavolo è semplicissimo! Ci sono questi due personaggi che si muovono su di una scacchiera infinita. Il diavolo in ogni istante può essere in qualsiasi luogo della scacchiera (velocità infinita!), e può distruggere il relativo quadratino (il può è superfluo, certamente lo farà: è un diavolo!). L'angelo parte al tempo iniziale, da una data casella, e si può muovere di al più M caselle in qualsiasi direzione: per essere precisi, se l'amgelo si trova in (x,y) al tempo t, al tempo t+1 si può trovare in qualsiasi posizione (x',y') con x'-x e y'-y non maggiori di M in valore assoluto.
L'angelo vola (ovviamente!) ma non può posarsi in un quadratino distrutto dal diavolo.
Il diavolo vince se riesce a costringere l'angelo in una zona limitata di piano. A questo punto, distruggendo a poco a poco il terreno intorno all'angelo riuscirà a ridurlo all'immobilità. Viceversa l'angelo vince se possiede una strategia che in ogni istante futuro gli permette di cambiare casella.
Se limitiamo drasticamente la libertà dell'angelo, è facile vedere che il diavolo vince. Per esempio se l'angelo parte da O ed è obbligato a muoversi lungo una stada verticale di ampiezza h, per il diavolo sarà sufficiente erodere due zone di altezza M, una a sud e l'altra a nord di O, per sconfiggere l'angelo. Per fare questo gli occorrono t = 2 h M mosse. Basterà dunque che il diavolo formi queste barriere abbastanza lontano da O; questo è sempre possibile perché in t mosse l'angelo si allontana al più t M caselle da O: è allora sufficiente che il diavolo operi alternativamente a nord e a sud di O ad una distanza più grande di 2 h M² caselle.
Conway ha scoperto diverse limitazioni dell'angelo che permettono al diavolo di vincere. Se per esempio l'angelo è obbligato ad aumentare ad ogni mossa la sua distanza da O, il diavolo ha una strategia vincente.
Incredibilmente nessuno è ancora riuscito a dimostrare che (in assenza di limitazioni) il diavolo (o l'angelo) possiede sempre una strategia vincente!
Immaginate di essere in una scacchiera infinita. Il tempo passa, discreto (T = 0, 1, 2, 3, ...) e inesorabile. Ma non limitato: avete a disposizione l'eternità. Ogni casella inizialmente è luminosa, e piena di cose, individui ed eventi che vi interessano. Infiniti mondi da scoprire! Turismo intergalattico, senza confini e gratuito, per sempre! Con la vostra astronave potete spostarvi, ad ogni istante, entro un raggio di un miliardo di caselle , da dove vi trovate, in qualsiasi direzione. L'unica restrizione è che dovete atterrare su di una casella luminosa. Purtroppo non tutto è perfetto, e contro di voi agisce una creatura diabolica, chiamiamola D, assolutamente contraria al turismo. D passa nell'ipersapzio e in ogni istante può essere in qualsiasi luogo (tranne quello dove siete voi, perché non vuole incontravi...). Là dove si trova spegne le luci, e il luogo diventa inaccessibile per voi.
Riuscirete a godervela per sempre, saltando qua e là, oppure prima o poi vi troverete circondati da un invalicabile oscuro abisso, e costretti a rimanere (per sempre...) dove siete? Conway offre 100 $ se trovate una strategia vincente per voi e 1000 $ se ne trovate una per D (si noti che vi si concede di spostarvi ad ogni istante entro un raggio di M caselle, M qualsiasi - anche più grande di un miliardo - ma fissato).
Il secondo gioco, inventato (ma in questo caso sarebbe meglio dire scoperto) da Conway è Life. Ci sono più libri, articoli e pagine Web dedicate a questa creazione di Conway che a quelle di qualsiasi altro matematico vivente!
Riprendiamo la nostra scacchiera infinita. Questa volta siamo spettatori. La guardiamo dall'alto. Vi sono caselle luminose e caselle buie. Certe si accendono all'improvviso ed altre si spengono. Esiste una regola, e ci è stata rivelata (da J H C). Per esprimerla dobbiamo definire l'intorno di una cella. Le caselle ora si chiamano celle, e il tutto viene detto automa cellulare. L'intorno di una cella è costituito dalle otto caselle ad essa adiacenti nella scacchiera.
La regola è questa:

Se la cella al tempo t è spenta, ed ha nel suo intorno
esattamente tre celle accese, sarà accesa al tempo t+1

Se la cella al tempo t è accesa, rimarrà accesa al tempo t+1
se e solo se nel suo intorno ci sono due o tre caselle accese

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12 giugno 2003

Pi greco e i numeri primi

I numeri primi sono definiti in modo puramente aritmetico: sono gli interi divisibili solo per 1 e per se stessi. Pi greco è un invariante geometrico: è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi ed il suo diametro.
L'universo dove vive p è abissalmente lontano da quello dei numeri interi. Pi è irrazionale (non si può ottenere come rapporto di due numeri interi); peggio ancora, è trascendente: non è soluzione di nessun polinomio con coefficienti razionali: questo significa che p non si può scrivere mediante una espressione algebrica che contenga solo un numero finito di interi, le quattro operazioni e radicali di ordine qualsiasi.
Certamente, come tutti i numeri reali, anche p si può approssimare quanto si vuole con numeri razionali, ma come può la successione dei decimali di p, 1, 4, 1, 5, 9..., essere legata alla successione dei primi 2, 3, 5, 7, 11...?!
Ci sentiamo smarriti, ci guardiamo un poco intorno, e ci vengono in aiuto Bernoulli ed Eulero.
I numeri di Bernoulli prendono nome da Jacob Bernoulli (1654-1705) il quale li scoprì mentre cercava una formula generale che esprimesse la somma S_m(n) delle potenze m-esime dei primi n interi naturali :

Sm(n) = å am 
con a che varia da 0 ad n-1

Cn,k = n!/(k!(n-k)!)

(A)
Sm(n)  = (m+1)-1 å  Cm+1,k Bk nm+1-k
dove k varia da 0 ad m

ES1
S1(n)  = 0 + 1 + .... + (n-1) = 2-1 (C2,0 B0 n2 + C2,1 B1 n) =
2-1 (B0 n2 + 2 B1 n)

ES2
S2(n)  = 02 + 12 + .... + (n-1)2 =
3-1 (C3,0 B0 n3 + C3,1 B1 n2 + C3,2 B2 n) =
3-1 (B0 n3 + 3 B1 n2 + 3 B2 n)

(B)
B0 = 1
å  Cm+1,k Bk = 0
dove nella sommatoria k varia da 0 ad m

Fu Eulero ad approfondire per primo lo studio della meravigliosa funzione z, una delle funzioni più importanti di tutta la matematica. La funzione z è definita mediante una serie, che converge per ogni s maggiore di 1:

z(s) = å n-s
dove nella sommatoria n varia da 1 all'infinito

(C)
z(2n) = ((-1)n-1 B2n (2p)2n)/(2 (2n)!)

(D)
z(s) = Õ (1 - p(i)-s)-1
dove i varia da 1 all'infinito

p2 = 6 (22/(22 - 1) (32/(32 - 1)...(p(i)2/(p(i)2 - 1)...

p2 = 6 4/3 9/8 25/24 49/48 121/120 ...

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3 giugno 2003

Il premio Abel a Jean - Pierre Serre

ogni intero pari maggiore di due è somma di due numeri primi

se a ed n sono due interi senza divisori maggiori di 1 in comune 
allora nella successione aritmetica a + kn
ci sono infiniti primi

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