La matematica ci fa pensare subito ai numeri. La teoria dei numeri è sempre stata considerata difficile e astratta, ricca di problemi apparentemente semplici, forse insolubili e quasi certamente inutili. Un esempio? La congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi (4=2+2, 6=3+3, 8=5+3,...). Nessuno riesce a dimostrarla. E allora? Non ce ne potrebbe importare di meno! Se però vi interessa un milione di dollari potete provarci ... Lo scrittore Apostolos Doxiadis ha recentemente pubblicato un divertente libro, tradotto anche in italiano, "Zio Petros e la congettura di Goldbach". La casa editrice ha deciso (dopo avere sentito il parere di esperti) di elargire il favoloso premio al primo che riesca a provare che la congettura è vera (o che è falsa, cosa assai improbabile). Ci sono altri sette milioni di dollari messi in palio dalla Clay Math Org per la soluzione di altri sette problemi, considerati tra i più importanti e difficili della matematica contemporanea.
Potete risolverne uno anche giocando! Sul desktop del vostro computer, nella cartella dei giochi c'è certamente Minesweeper. Il matematico Richard Kaye ha recentemente provato che trovare una strategia vincente per questo gioco equivale a risolvere uno dei più difficili problemi della teoria della complessità, il primo appunto dell'elenco della Clay Math. Il matematico Ian Stewart ha scritto un articolo divulgativo sul risultato di Kaye. Direte che sono tutte storie, che intanto nessuno vince niente! Invece alcuni ricercatori svedesi hanno vinto diecimila sterline decifrando il testo crittografato inserito nel libro Codici & Segreti di Simon Singh. I matematici Selby e Riordan hanno incassato ben un milione di sterline per avere risolto il puzzle combinatorio del gioco Eternity. L'incauto inventore di questo gioco, che ha messo in palio il premio a scopo pubblicitario ed ora è rovinato, riteneva che la risoluzione del puzzle fosse al di sopra delle possibilità della mente umana. In realtà è molto difficile sapere ciò che è veramente difficile. Dovete diventare dei matematici per saperlo fare!
Ma ora basta con i soldi! La matematica non si applica soltanto ai $!
I numeri primi, che sembrano così lontani dal nostro mondo, sono ora alla base di potenti metodi crittografici, come il famoso RSA. Per rompere i sistemi di crittografia basati sui numeri primi, è necessario saper fattorizzare un numero N grande, cioè trovare i divisori di N. Questo compito è al momento al di là di quanto consentano le attuali conoscenze matematiche. Si dovrà fare ancora molta strada e sarà necessaria molta ricerca innovativa. Un aiuto ci viene dalla fisica. Si sta procedendo verso la produzione di computer quantici, che avranno una capacità di calcolo immensa rispetto a quelli odierni. Questi elaboratori richiederanno algoritmi diversi da quelli usuali; tali algoritmi sono attivamente studiati da alcuni matematici, e rappresentano una interessante area di sviluppo completamente nuova per la matematica. Il matematico Peter Shor ha suscitato un vivissimo interesse nella comunità scientifica trovando un algoritmo efficace per la fattorizzazione di interi grandi, che può essere implementato su computer quantici. Oltre ai codici crittografici sono estremamente importanti anche i codici correttori d'errore. Senza di essi la trasmissione veloce e sicura di dati digitali non sarebbe possibile! Niente Internet, niente lettori di CD, telefonini o immagini da lontani satelliti! Si usano per costruirli molte tecniche matematiche: algebra, probabilità, analisi, combinatorica, geometria algebrica...
Per secoli l'interazione matematica - fisica è stata il motore di un grandioso sviluppo parallelo delle due discipline attraverso il paradigma problema da risolvere - metodi di soluzione. Si assiste oggi ad una vigorosa, e per certi versi inaspettata, interazione matematica - scienze della vita, assai più vivace e proficua che nel passato.
Prendendo come modello il sistema nervoso animale e umano, si sono inventate le reti neurali. Esse sono algoritmi molto flessibili e resistenti agli errori, che permettono alle macchine di apprendere, riconoscere forme, capire il linguaggio parlato e più generale di svolgere compiti una volta riservati solo a noi, come per esempio fare una diagnosi o prevedere un evento futuro. Le applicazioni delle reti neurali sono innumerevoli, spaziano dalla medicina alla finanza. Sovente sono ancora più efficaci nelle applicazioni i sistemi ibridi, formati da reti neurali che utilizzano la logica fuzzy, o logica sfumata, una logica che non ammette solo i valori di verità vero o falso ma infiniti altri. Anche in questa direzione la matematica sviluppa nuovi metodi. Non lo sappiamo, ma forse anche la nostra lavatrice usa una logica fuzzy!
Esistono poi gli algoritmi genetici, che provengono dalla teoria dell'evoluzione di Darwin e dalla moderna genetica. Si crea un ambiente competitivo di codici di programmi, che devono risolvere un dato problema. Vengono selezionati i migliori e riprodotti. Se si attende per un sufficiente numero di generazioni si trovano codici in grado di svolgere un certo compito meglio degli umani! Come dicevamo reti neurali, sistemi fuzzy, algoritmi genetici sono molto usati nelle applicazioni. Per esempio vengono utilizzati tutti insieme nelle tecniche di analisi del mercato azionario. Oltre all'intelligenza artificiale, altri campi contemporanei di applicazione della matematica sono gli automi cellulari e la vita artificiale.
Gli automi cellulari sono costituiti da gruppi di individui con comportamento uniforme ed elementare, che ricevono informazioni solo dai loro vicini. Queste popolazioni danno origine a comportamenti globali complessi, in contrasto con la semplicità locale. Possono tendere a uno stato stabile, periodico, caotico o complesso. Si tratta veramente di una innovazione anche sul piano epistemologico, che porterà a rivoluzionare la scienza e le tecniche di computazione. Gli automi cellulari sono usati anche in applicazioni molto molto pratiche, come lo studio dei valori del mercato immobiliare. La vita artificiale studia, attraverso l'uso di modelli e simulazioni, le problematiche che stanno alla base della nascita della vita, dell'evoluzione, della crescita, del comportamento, della competizione in un ecosistema. Vi sono per esempio algoritmi che simulano la crescita di piante, come gli L-sistemi, che sono poi particolari frattali. Oppure algoritmi che simulano forme di vita in evoluzione, o la lotta per la sopravvivenza preda-predatore.
Questa breve carrellata dovrebbe aiutare a rispondere a domande che spesso sentiamo: "C'è ancora qualcosa da scoprire, da fare, per i matematici?", "A che cosa serve nella pratica la matematica?".