Nel seguito N e Z denotano rispettivamente l'insieme dei numeri naturali {0,1,2,…} e l'insieme degli interi relativi {…-2,-1,0,1,2,…}.

Dati a, b in Z ed n > 1 in N, diciamo che a è congruo a b modulo n se a e b divisi per n danno lo stesso resto; in questo caso scriviamo a = b mod n. La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.

Per esempio: 0 = 7 mod 7, n = 0 mod n, 13 = 3 mod 10, -6 = 7 mod 13, 2 = 5 mod 3.

Ovviamente a = b mod n se e solo se a = b + kn con k in Z.

Denotiamo con l'insieme {0,1,2,…,n-1} dei possibili resti della divisione di un intero per n.

In sono possibili la somma, la differenza e la moltiplicazione modulo n.

Per esempio 2+3 = 0 mod 5, 2*3 = 1 mod 5, 14 + 5 = 4 mod 15, 2 – 7 = 8 mod 13, 7*7 = 0 mod 49.

Semplicemente si calcola il risultato u dell'operazione algebrica in Z, e si sostituisce u con u mod n, cioè si sostituisce u con il resto della divisione di u per n.

Fissiamo ora un numero primo p e consideriamo la successione di strutture P(k) = con k = 1, 2, 3… Per esempio se p = 7, P(1) = , P(2) = , P(3) = …

Ci sono due modi per definire gli interi p-adici. Vediamo il primo.

Un intero p-adico v è una successione infinita (scritta da destra a sinistra) :

{… … } tale che, per ogni k, P(k) e = mod . Si osservi che, dato , ci sono sempre p possibili scelte per .

Per costruire, ad esempio, un intero 5-adico si parte da in P(1) =; si hanno 5 scelte, da 0 a 4. Supponiamo di prendere = 2. Ora in ci sono 25 naturali, da 0 a 24, ma solo 5 di essi danno 2 come resto della divisione per 5 : 2, 7, 12, 17, 22. Scegliamo per esempio = 17. Si prosegue in questo modo. Ecco i primi 10 termini di una possibile successione che rappresenta un intero 5-adico:

1. {... ,6510417, 651042, 260417, 26042, 10417, 1042, 417, 42, 17, 2}

Scriveremo sempre tra parentesi graffe le successioni che rappresentano gli interi p-adici.

Vediamo il secondo modo per definire un intero p-adico.

Un intero p-adico u è una serie infinita u = , dove per ogni k 0 p-1. Se si tronca la serie si ottiene un intero ordinario, scritto in base p. Per esempio è la rappresentazione 5-adica di 592.

Scriveremo tra parentesi quadre le espressioni dei p-adici mediante serie; per esempio la

[…, 0, 0, 0, 4, 3, 3, 2] – dove a sinistra di 4 ci sono tutti 0 – rappresenta l'intero 592. Se tra le [ ] i coefficienti non sono tutti nulli da un certo coefficiente in poi (a sinistra di esso) la serie rappresenta un intero p-adico che non appartiene a Z.

Si passa dalla rappresentazione mediante serie a quella mediante successioni associando alla serie la successione delle somme parziali:

alla serie […, , , …, , , , ] si associa la successione

{..., , …, , , }.

Per esempio la serie […, 0, 0, 0, 4, 3, 3, 2] diventa la successione {..,592, 592, 592, 592, 92, 17, 2}.

Per passare dalla successione {… … } alla serie corrispondente osserviamo che da = mod segue che divide (). Associamo allora a {… … } la […, , , …, , , , ] dove = e, per ogni k > 0, = ()/.

Così la successione (1) diventa la serie:

2. […, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 2]

Dati due interi p-adici t e v, rappresentati rispettivamente dalle successioni {… … } e {… … } , si definisce la somma t + v come l'intero p-adico definito dalla successione s il cui termine k-esimo è (+) mod . Ad esempio:

{..,592, 592, 592, 592, 92, 17, 2}+{..,592, 592, 592, 592, 92, 17, 2}={..1184,1184,1184,559,59,9,4}

In modo del tutto analogo vengono definite le operazioni di prodotto e di differenza.

Le operazioni si possono effettuare anche nella forma seriale, proprio come si fa con i numeri interi in base 10, tenendo conto che siamo in base p e che bisogna continuare all'infinito sulla sinistra, propagando eventuali riporti. Faremo tra poco qualche esempio.

E' chiaro che Z si può "immergere" nell'insieme degli interi p-adici. In numero intero relativo n diventa la successione {n mod } per k 1.

Un intero positivo ordinario visto nei p-adici come successione è una successione che rimane costante alla sinistra di un certo termine, per esempio la solita {..,592, 592, 592, 592, 92, 17, 2}.

Ben diverso è il caso di un intero negativo; -592 diventa la successione {-592 mod } per k 1, cioè – se p=5 - {…,77533, 15033, 2533, 33, 33, 8, 3}. Si noti che 2+3=5=0 mod 5,

17+8=25=0 mod 25, 92+33=125=0 mod 125, 592+33=625=0 mod 625 e così via; pertanto:

{..,592, 592, 592, 592, 92, 17, 2}+{…,77533,15033,2533,33,33,8,3}={…, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}.

L'immagine p-adica dell'intero positivo n nella sua espressione seriale è semplicemente la sua scrittura in base p. Poiché questa scrittura è di lunghezza finita, l'espressione tra [ ] sarà fatta tutta di 0, alla sinistra di un certo indice. Per esempio, se p=7 ed n=151, n=; cioè 151 si scrive 304 in base 7 e la sua espressione seriale 7-adica è […0, 0, 0, 0, 3, 0, 4]. Proviamo a moltiplicare […0, 0, 0, 0, 3, 0, 4] per 5 = […,0, 0, 0, 0, 0, 0, 5]. Abbiamo:

54=20 che è 26 in base 7 (27+61); dunque scriviamo 6 con riporto di 2;

50=0 che diventa 2 con il riporto;

53=15 che è 21 in base 7 (27+11); infine si ottiene […,0, 0, 0, 2, 1, 2, 6] che – ovviamente – e la serie 7-adica corrispondente a 755.

L'immagine p-adica di un intero negativo –n (con n>0) si ottiene semplicemente pensando che

n-n=0. Supponiamo di volere scrivere –100 come 7-adico. Sappiamo ormai scrivere 100, che è

[…,0, 0, 0, 0, 2, 0, 2]; segue che –100 è […,6, 6, 6, 6, 4, 6, 5] con infiniti 6 a sinistra, infatti:

2+5=7 che è 10 in base 7; scriviamo 0 con riporto di 1;

0+6=6 che diventa 7 con il riporto; come sopra scriviamo 0 con riporto di 1;

2+4=6 che diventa 7 con il riporto; come sopra scriviamo 0 con riporto di 1;

0+6=6 che diventa 7 con il riporto; come sopra scriviamo 0 con riporto di 1;

e così via …

Chiaramente nell'espressione seriale di –n, tra le [ ] alla sinistra di un certo indice vi saranno tutti

p-1.

Riassumendo: l'insieme degli interi p-adici contiene una copia dell'insieme degli interi relativi Z, e le operazioni di somma, differenza e prodotto estendono esattamente le consuete operazioni aritmetiche di Z.

Se moltiplichiamo la serie 5-adica […, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 2] data in (2) per 3 otteniamo una sorpresa:

23=6 che è 11 in base 5; scriviamo 1 con riporto di 1;

33=9 che diventa 10 con il riporto, cioè 20 in base 5; scriviamo 0 con riporto di 2;

13=3 che diventa 5 con il riporto, cioè 10 in base 5; scriviamo 0 con riporto di 1;

33=9 che diventa 10 con il riporto, cioè 20 in base 5; scriviamo 0 con riporto di 2;

e così via…

Otteniamo […,0, 0, 0, 0, 0, 0, 1], cioè il numero 1. Questo significa che la serie 5-adica (2) rappresenta il numero razionale . Quali numeri razionali appartengono all'insieme degli interi

p-adici, fissato un primo p? Si può vedere – senza troppa fatica – che sono tutti e soli i razionali , dove è un intero qualsiasi in Z, e è un intero positivo non divisibile per p. Tutti i razionali che appartengono all'insieme degli interi p-adici hanno espressione seriale periodica (le cifre si ripetono periodicamente alla sinistra di un certo indice).

Calcoliamo per esempio nei 7-adici nella forma di successione. Dobbiamo risolvere una successione di congruenze. Il numero 5 è rappresentato dalla successione costante {…,5,5,5,5,5,5}.

Dobbiamo trovare {… … } tale che {… … } {…,5,5,5,5,5,5} dia come risultato {…,1,1,1,1,1,1}, cioè il numero 1. Pertanto si deve avere:

5 = 1 mod 7; otteniamo =3.

5= 1 mod 49; otteniamo =10.

5=1 mod 343; otteniamo =206.

…..

in generale risolveremo 5= 1 mod , terminando quando la corrispondente espressione seriale diventa periodica.

Nel nostro caso si trova {… … } = {…,4611841,494126,23530,6723,1921,206,10,3}.

La serie corrispondente è […, 1, 2, 5, 4, 1, 2, 5, 4, 1, 3] con periodo 2541. La si moltiplichi per 5, e si otterrà 1 (si ricordi che siamo nel mondo dei 7-adici).

Tra gli interi p-adici vi sono infiniti numeri la cui serie non è periodica; pertanto essi sono irrazionali. Ovviamente, fissato p, non tutti i numeri irrazionali si trovano tra gli interi p-adici. Consideriamo il caso delle radici quadrate.

Se è un intero non quadrato in Z, allora il numero irrazionale si trova nell'insieme degli interi p-adici se e solo se è un quadrato modulo p, cioè se e solo se l'equazione:

(3)

ha soluzione. Se la (3) ha soluzione, allora anche tutte le , con k > 1, hanno soluzione, e possiamo costruire il numero p-adico come successione. Prendiamo ancora p=7. Quali sono i quadrati modulo 7? Calcoliamoli: 11=1, 22=4, 33=2; 1, 2 e 4 sono quadrati modulo 7, mentre 3, 5 e 6 non lo sono. Le radici quadrate di 3, 5 e 6 non esistono tra gli interi

7-adici.. Le radici di 1 e di 4 sono (le versioni 7-adiche di) e . Calcoliamo allora le radici quadrate di 2.

Se risolviamo , troviamo due soluzioni: 3 e 4. Dobbiamo sceglierne una: prendiamo 4.

Abbiamo ora = 4. Passiamo al "piano di sopra", modulo 49. L'equazione ha ancora due soluzioni: 10 e 39. Una sola di esse però può essere scelta; la successione {…,10, 4} non rappresenta un intero 7-adico perché 10 non è congruo a 4 modulo 7. Siamo obbligati a porre = 39. Andiamo al terzo piano, modulo 343. L'equazione ha soluzioni 235 e 108, e dobbiamo prendere 235 perché 235 mod 49 = 39, mentre 108 mod 49 = 10. Abbiamo ora tre termini della successione: {…,235, 39, 4}. Proseguendo in questo modo otteniamo che, negli interi 7-adici:

= {…, 4609765579368303, 4609765579368303, 1352938383547405, 189785813611370,

23621160763365, 4630914723593, 561576286499, 77131234464, 7924798459, 15491487,

15491487, 15491487, 3961885, 667713, 79468,12240, 235, 235, 39, 4} come successione.

= […0 ,2 ,5 ,5 ,4 ,6 ,5 ,5 ,4 ,0 ,0 ,2 ,4 ,5 ,4 ,5 ,0 ,4 ,5 ,4] come serie.

Sono stati elencati i primi venti termini ma sia la successione che la corrispondente serie si estendono a sinistra all'infinito e non sono periodiche.

Naturalmente c'è l'altra soluzione:

-= {…,75182500718243698, 6789129606004840, 275475214363044, 42844700375837,

9611769806236, 116646786350, 116646786350, 19757775943, 5916488742, 1961835256,

266983762, 24862120, 1802916, 155830, 38181, 4567, 2166, 108, 10, 3}come successione.

-= […6, 4, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 6, 6, 4, 2, 1, 2, 1, 6, 2, 1, 3] come serie.

Nell'insieme degli interi 7-adici, per quanto detto, possiedono radice quadrata tutti gli interi relativi n in Z tali che n mod 7 = 1, 2 o 4 (gli n che divisi per 7 danno come resto 1,2 o 4). Ecco i primi 10 termini delle espressioni seriali delle radici quadrate di 8 e di –3 negli interi 7-adici:

= […0, 5, 2, 4, 2, 3, 1, 2, 4, 1]

-= […6, 1, 4, 2, 4, 3, 5, 4, 2, 6]

= […6, 5, 1, 1, 2, 5, 6, 0, 5, 2]

-= […0, 1, 5, 5, 4, 1, 0, 6, 1, 5]

Nel seguito g denota un intero positivo maggiore di 1 "privo di quadrati": cioè g è il prodotto di numeri primi distinti.

Formalmente i numeri g-adici sono definiti come i p-adici attraverso successioni e serie. Sia per esempio g=10=25. Da quanto detto nei paragrafi precedenti dovrebbe essere chiaro che:

{…,9999999, 999999, 99999, 9999, 999, 99, 9} e […, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9] sono le rappresentazioni 10-adiche di –1 in forma, rispettivamente, di successione e di serie;

{…,6666667, 666667, 66667, 6667, 667, 67, 7} e […, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7] sono le rappresentazioni 10-adiche di in forma, rispettivamente, di successione e serie.

Come esercizio calcoliamo - a partire da […, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7] : si ottiene […, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3]; la prima cifra a destra (3) è il complemento a 10 di 7, mentre le altre (che in questo caso sono anch'esse uguali a 3) sono il complemento a 9 di 6, così che per effetto del riporto si ottenga ogni volta 10 e si abbia […, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7] + […, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3] = […,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0]

Si osservi che nel caso 10-adico ci sono alcune semplificazioni notazionali, dovute al fatto che noi scriviamo i numeri in base 10. La condizione = mod significa che si ottiene da eliminando la cifra più significativa (ovviamente gli zeri sulla sinistra non vengono scritti). L'espressione seriale di un intero 10-adico coincide – se finita – con la sua scrittura decimale.

Gli interi 10-adici sono semplicemente successioni di cifre decimali eventualmente illimitate a sinistra, che si addizionano, si sottraggono e si moltiplicano con le solite regole che abbiamo imparato da bambini.

Ogni numero che si ripete periodicamente a sinistra, da un certo punto in poi, rappresenta un razionale. Per esempio r = …76923076923076923076923076923076923076923076923077 è un intero 10-adico che inizia con 77 ed è seguito all'infinito dal periodo 769230. Proviamo a moltiplicare r per 13:

…76923076923076923076923076923076923076923076923077

13 =

..230769230769230769230769230769230769230769230769231

..76923076923076923076923076923076923076923076923077

..000000000000000000000000000000000000000000000000001

Otteniamo che r 13 = 1; quindi r è l'espressione 10-adica di .

Occorre ora che il lettore abbia un poco di pazienza, perché capire le differenze – e la stretta relazione – che esistono tra il mondo degli interi g-adici (con g non primo) e quello dei p-adici, con p che divide g, richiede attenzione e un poco di fatica.

Ci limitiamo al caso g = pq, dove p e q sono primi distinti; passare al prodotto di più primi non presenta difficoltà concettuali superiori.

Dato un intero g-adico v, scriviamo la sua espressione some successione {… … } più semplicemente così : .

Precisiamo, ricordando quanto detto nel §1: dire v = significa che l'intero g-adico v è rappresentato dalla successione di interi naturali con k = 1, 2, 3, …, dove i devono soddisfare alle seguenti due condizioni:

1 – Per ogni k

2 – Per ogni k

Denotiamo con l'insieme degli interi g-adici; analogamente indichiamo con e con rispettivamente l'insieme degli interi p-adici e quello degli interi q-adici.

Dato v in , se poniamo s = , è facile vedere che s è un elemento ben definito di .

Per esempio sia v = {..,3076923077, 76923077, 76923077, 6923077, 923077,23077,3077,77,77,7}, che – come abbiamo visto poco sopra – rappresenta il razionale in . Se calcoliamo

{…3076923077 mod 1024, 76923077 mod 512, 76923077 mod 128,…, 77 mod 4, 77 mod 2} otteniamo s = {…, 709 , 197, 197, 69, 5, 5, 5, 5, 1, 1} che rappresenta in .

Se calcoliamo {…3076923077 mod , 76923077 mod , 76923077 mod ,…, 77 mod 25, 77 mod 5} otteniamo t = {…, 751202, 751202, 360577, 48077, 1202, 1202, 577, 77, 2, 2} che rappresenta in .

Ragioniamo ora in analogia a quanto avviene nel piano cartesiano. Fissato un sistema di riferimento, un punto P nel piano è determinato da una coppia (x, y) di numeri reali, la sua ascissa e la sua ordinata. Tra l'insieme dei punti del piano e le coppie di reali (x, y) esiste una corrispondenza biunivoca: a P si associa (x, y) e viceversa in modo univoco.

Sia C l'insieme di tutte le coppie dove – come si vede dalla notazione – il primo elemento sta in e il secondo in .

Possiamo allora definire una corrispondenza biunivoca tra e C nel modo seguente:

dato v = in , si pone (v) = , dove e .

Per determinare la corrispondenza inversa tra C e , ci serve il Teorema Cinese dei Resti (TCR).

Il TCR afferma che dati due interi m ed n coprimi (cioè senza divisori comuni propri, in particolare – come nel nostro caso – dati , potenze di primi distinti) il sistema:

ha un'unica soluzione x modulo il prodotto mn.

Per esempio:

ha un'unica soluzione modulo 3533 = 1155 (cioè compresa tra 0 e 1154): x = 598.

Ecco allora la definizione di :

sia dato un elemento appartenente a C; si costruisce v in tale che (v)= (equivalentemente tale che () = v) risolvendo con il TCR la successione di sistemi (k = 1, 2, 3, …):

Facciamo subito un esempio. Siano p = 7 e q = 17; quindi g = pq = 119. Indichiamo con 1 la successione {…1, 1, 1, 1, 1} che in rappresenta l'intero 1, e con 2 la successione {…,2, 2, 2, 2} che in rappresenta l'intero 2. Troviamo v = (1, 2).

Per fare questo risolviamo con il TCR per ogni k = 1, 2, 3,… il sistema:

Troviamo:

{…47171965085441789489, 4102928017321517378, 1114963214824796, 101168589489479,

1776959554644, 11057846318, 28480663,1 518119, 2892, 36}.

Questi sono i primi 10 termini dell'espansione 119-adica di v; è facile capire che v non può rappresentare in un razionale: dunque la successione non è periodica e possiamo soltanto trovare approssimazioni via via più precise di v, aumentando il valore massimo di k.

Riprendiamo l'analogia con il piano cartesiano. Dati due punti P e Q, rappresentati rispettivamente dalle coppie di reali (x, y) e (z, t) possiamo definire la somma dei punti P + Q come il punto R le cui coordinate sono (x+z, y+t).

Manteniamo le stesse notazioni del §3.

Dati e in C definiamo:

dove le operazioni +, , tra le ( ) sono quelle definite nel §2.

Con queste definizioni, per ogni v, z in si ha evidentemente:

Nella terminologia matematica , , e C con le operazioni in essi definite sono anelli, C è l'anello prodotto e la corrispondenza biunivoca è un isomorfismo tra e C. La corrispondenza biunivoca è l'isomorfismo inverso. Se esiste una relazione algebrica, esprimibile con le operazioni date, tra certi elementi di , la stessa relazione esiste tra i gli elementi corrispondenti in C, e viceversa.

Abbiamo allora visto quale rapporto esiste tra l'insieme (anello) degli interi g-adici e gli insiemi (anelli) degli interi p e q-adici: è l'anello prodotto di e di , così come il piano cartesiano è il (gruppo additivo) prodotto dell'insieme (gruppo additivo) dei reali R con sé stesso.

Tra e le sue componenti e esistono però profonde differenze. Ne esaminiamo tre.

Differenza 1 : radici quadrate.

In (come in ) data l'equazione essa possiede nessuna o 2 soluzioni, a seconda del fatto che a mod p non sia o sia un quadrato modulo p, come abbiamo visto nel §2.

Poiché è isomorfo a , esistono soluzioni della se e solo se entrambi a mod p e a mod q sono quadrati, rispettivamente modulo p e modulo q.

Supponiamo allora che le radici esistano; denotiamo con le due radici quadrate di a in e con le due radici quadrate di a in (dove a denota le successioni p-adica e q-adica che rappresentano a rispettivamente in e in ). Quindi = a in e = a in .

Per le definizioni date delle operazioni in , in stesso si ha:

= (a, a); = (a, a); = (a, a); = (a, a).

Ci sono dunque quattro soluzioni dell'equazione = (a, a) in . Poiché è isomorfo a , anche in l'equazione avrà quattro soluzioni:

, , , , che si calcolano come visto nel §3.

Per esempio in esisteranno quattro radici quadrate di 1. In e in le radici quadrate di 1 sono . In otteniamo (in forma seriale):

[…1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = , cioè la soluzione 1.

[…,5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5] = , cioè la soluzione –1.

[…1, 1, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 3, 1] = , una soluzione irrazionale che denotiamo con .

[…4, 4, 4, 3, 1, 4, 0, 4, 2, 5] = , la soluzione .

Differenza 2 : idempotenti.

Si dice idempotente un elemento tale che .

Gli idempotenti sono tutte e sole le soluzioni dell'equazione:

(4) .

Ovviamente è un idempotente se e solo se per ogni intero n positivo si ha .

In Z gli unici idempotenti sono 0 ed 1. Allo stesso modo in ogni gli unici idempotenti sono 0 e 1. Come nel caso appena visto delle radici quadrate, i due idempotenti di e di danno origine a quattro idempotenti in :

(0, 0) che è l'idempotente banale 0.

(1, 1) che è l'idempotente banale 1.

(1, 0) che è un irrazionale di , che denotiamo con .

(0, 1) che è un irrazionale di , che denotiamo con .

Osserviamo che da (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) in C, segue per l'isomorfismo , che in valgono sempre le equivalenti:

(5)

(6)

Ovvero: in la somma degli idempotenti non banali vale 1.

Per un esempio si veda alla fine di Differenza 3, qui di seguito.

Differenza 3 – divisori dello zero.

Si dicono divisori dello zero due elementi diversi da 0 e tali che .

In Z e negli anelli degli interi p-adici non esistono divisori dello zero. Ben diverso è il caso di .

Se è un idempotente non banale di , si ha:

(*)

con e (1-) diversi da 0.

Da questo segue subito che in esistono infiniti idempotenti.

Si noti che dalla (6) e dalla (*) otteniamo .

Ovvero: in il prodotto degli idempotenti non banali vale 0.

Vediamo un esempio in .

= {…24151041, 3995649, 636417, 76545, 29889, 6561, 81, 81, 9, 3} come successione e

= […2, 2, 2, 1, 3, 5, 0, 2, 1, 3] come serie.

 = {..36315136, 6082048, 1043200, 203392, 16768, 1216, 1216, 136, 28, 4} come successione e

 = […3, 3, 3, 4, 2, 0, 5, 3, 4, 4] come serie.

Si constatino le relazioni:

Un intero n non negativo scritto in base g si dice k-sferico se le ultime k cifre di sono uguali alle ultime k cifre di n.

Ovviamente n è k-sferico in base g se e solo se n è soluzione dell'equazione:

(7)

Determinare le soluzioni della (7) per k = 1, 2, 3,… equivale a risolvere la (4) in , cioè – per quanto visto nel §4 – a determinare gli idempotenti di . Se – come sopra – q = pq con p e q primi

distinti, allora, levate le soluzioni banali 0 e 1, ci sono esattamente due idempotenti non banali e che si calcolano, come successioni, così:

Poiché e sono irrazionali, dobbiamo accontentarci di loro approssimazioni, per un certo k grande quanto vogliamo.

Supponiamo p = 2, q = 3, g = 6. Allora, come si è visto alla fine del §4, le approssimazioni con k = 10, cioè i numeri 10-sferici in base 6, sono:

(in base 6) cioè 24151041 in base 10.

(in base 6) cioè 36315136 in base 10.

Si ha effettivamente:

in base 6 (583272781383681 in base 10)

in base 6 (1318789102698496 in base 10)

dunque e sono proprio 10-sferici in base 6 (naturalmente non lo sono in base 10).

Concludiamo considerando il caso p = 2, q =5, g = 10.

Allora e si calcolano così, per ogni k 1:

Per k = 20 otteniamo:

Una prima approssimazione dell'idempotente in forma di successione sarà dunque:

{…92256259918212890625, 2256259918212890625, 256259918212890625,

56259918212890625, 6259918212890625, 259918212890625, 59918212890625,

9918212890625, 918212890625, 18212890625, 8212890625, 212890625, 12890625,

2890625, 890625, 90625, 625, 625, 25, 5}

Una prima approssimazione dell'idempotente in forma di successione sarà dunque:

{7743740081787109376 ,7743740081787109376 ,743740081787109376 ,43740081787109376,

3740081787109376, 740081787109376, 40081787109376, 81787109376, 81787109376,

81787109376, 1787109376, 787109376, 87109376, 7109376, 109376, 9376, 9376, 376, 76, 6}

Se calcoliamo otteniamo 714408497724434710200000000000000000000. Facendo tendere k all'infinito tutte le cifre saranno 0, il ché esprime il fatto che = 0.

Se calcoliamo otteniamo 100000000000000000001. Facendo tendere k all'infinito tutte le cifre a sinistra di 1 saranno 0, il ché esprime il fatto che = 1.

Il fatto che = 1, in base a tutto quanto si è detto, significa che tutte le cifre di a sinistra di 6 ( è l'idempotente di che comincia con 6) sono il complemento a 9 delle cifre di a sinistra di 5.