Alla ricerca …dei numeri primi di Mersenne!
Il 14 novembre del 2001, Michael Cameron, un canadese ventenne, scoprì il 39° numero primo di Mersenne, che possiede la bellezza di 4.053.946 cifre (per scriverlo occorrerebbero 2000 pagine fitte fitte!). Michael non è un genio matematico o informatico, anche se il suo nome verrà ricordato nella storia dei numeri primi. Egli semplicemente partecipa al progetto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Il progetto, gestito da Entropia Inc. che fornisce la tecnologia necessaria per il calcolo distribuito, si basa su una rete di circa 210.000 computers (semplici PC) utilizzati da 130.000 volontari sparsi in tutto il mondo. Il programma dedicato gira con priorità minima, quando il computer è acceso ma l’unità centrale non viene impiegata al massimo delle sue possibilità, cioè per l’80% del tempo. Quel 14 novembre, Michael, senza avere fatto nulla, vide una piccola finestra lampeggiare per annunciare la grande scoperta!
Il francese padre Marin Mersenne (1588-1648) fu uno studioso di valore, amico dei maggiori matematici del tempo, tra cui Descartes e Fermat. Egli per mezzo di una fitta rete di corrispondenti svolse il fondamentale ruolo di centro di smistamento delle informazioni matematiche. Quando Mersenne veniva a conoscenza di qualcosa di interessante, subito ne informava l’intera "Repubblica delle Lettere", attraverso una monumentale corrispondenza. I numeri primi di Mersenne sono numeri interi della forma , che si lasciano dividere esattamente solamente dall’unità e da se stessi, ossia sono primi. Si ha che quando è primo, p è necessariamente primo. Sono primi di Mersenne: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951… Il numero scoperto da Michael si ottiene per p=13466917.
Ci sono buone ragioni per ritenere che la successione dei primi di Mersenne sia infinita, ma nessuno finora è stato in grado di dimostrarlo.
I primi di Mersenne sono in stretta relazione coi numeri perfetti, introdotti da Euclide (vissuto a cavallo dei secoli IV e III a.C.) ma verosimilmente noti in precedenza. Si ritiene spesso, erroneamente, che gli Elementi di Euclide si limitino a trattare argomenti di geometria; al contrario, tre libri sono dedicati alla teoria dei numeri, intesi come numeri interi positivi. Euclide definisce un numero perfetto come "quello che è uguale alla somma delle sue parti", ossia alla somma dei suoi divisori propri. Così 6 e 28 sono perfetti in quanto 6 = 1 + 2 +3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; seguono 496 e 8128. Euclide dà una formula per trovare numeri perfetti, scrivendo "se tanti numeri quanti ne vogliamo, a cominciare dall’unità, vengono posti continuamente in proporzione doppia fino a che la somma di tutti i numeri non diventi un numero primo, e se la somma viene moltiplicata per l’ultimo numero, il prodotto sarà un numero perfetto". Usando la notazione moderna si afferma che, se è un numero primo, allora è un numero perfetto. Ad esempio, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 è primo, e 16 x 31 = 496 è perfetto. Euclide non dà alcuna risposta alla domanda inversa, ossia se la sua formula fornisca o no tutti i numeri perfetti. Circa duemila anni dopo, Euler (1707-1783) dimostrò che tutti i numeri perfetti pari sono del tipo euclideo, ma la questione dell’esistenza di numeri perfetti dispari costituisce ancora un problema irrisolto. Le poche decine di numeri perfetti oggi noti sono tutti pari, ma trarne la conclusione che debbano essere tutti pari sarebbe azzardato. Tornando ai primi di Mersenne, si vede che determinare la successione dei numeri primi di Mersenne equivale dunque a determinare la successione dei numeri perfetti pari.
Ma quali sono i motivi che spingono tante persone alla ricerca di numeri primi sempre più grandi? Certamente passione, fascino del mistero, tradizione millenaria, desiderio di avventurarsi in zone mai esplorate. Anche per collezionismo: da sempre l’uomo cerca e conserva cose rare e preziose, e in 2300 anni si sono trovati solo 39 numeri primi di Mersenne! Per arrivare prima degli altri, per agonismo, per essere famosi. Ma ci sono anche altre motivazioni. Dimostrare che un intero è primo non è cosa semplice. Data la forma particolare dei numeri primi di Mersenne si sono potuti elaborare metodi particolarmente efficaci e veloci. Però l’esecuzione di questi algoritmi su numeri che hanno milioni di cifre rimane problematica anche con l’uso di supercomputers. I problemi aguzzano l’ingegno, ed i ricercatori hanno dovuto inventare innovativi metodi di calcolo e creare software per consentire l’uso di grandi reti di calcolatori. Queste nuove tecniche si possono poi applicare alla soluzione di molti altri problemi!
I numeri primi grandi sono oggi utilizzati per la crittografia e per la generazione di numeri pseudocasuali, ossia generati con un certo algoritmo ma apparentemente casuali. Recentemente Makoto Matsumoto e Takuji Nishimura hanno sviluppato un generatore estremamente efficace, detto Mersenne Twister, il cui periodo può essere un qualsiasi primo di Mersenne. Il periodo di un generatore è il numero di passi dopo i quali si ripete la stessa sequenza di numeri pseudocasuali. Ora un periodo uguale al 39° primo di Mersenne non è niente male!
Giampietro Allasia – Umberto Cerruti, Università di Torino