ARITMETICA MODULARE

Che ora segnerà questo orologio tra 16 ore?

Fra 12 ore si ritoverà nella stessa posizione. Dunque basta aggiungere 4 ore: saranno le 5.

In sostanza nel conto che facciamo trascuriamo i multipli di 12.

Un altro esempio. Se ora sono le 9, tra 50 ore dove si troverà la lancetta più corta del mio orologio?

Se faccio trascorrere le ore mentalmente mi rendo conto - come prima - che ogni 12 ore mi ritrovo nella stessa posizione (le 9). Poiché 50 diviso per 12 dà 4 con il resto di 2, la lancetta farà 4 giri completi, più 2 ore. Quindi la lancetta sarà sulle 11. In linguaggio matematico si dice che ho sommato 50 a 9 modulo 12.

Anche il calcolo modulo 7 interviene nella nostra vita in modo naturale, attraverso i giorni della settimana. Se oggi è sabato, che giorno sarà tra 30 dì? Poiché 30 modulo 7 è uguale a 2, bisogna avanzare di 2 giorni: sarà un lunedì.

Dato un numero intero n > 1 ci sono n resti possibili della divisione di un qualsiasi intero per n.

Z_n = { 0, 1, 2, …, n-1}

Z₇ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

In generale, dato un numero intero positivo N, i numeri interi si distribuiscono in N classi di resto modulo N, a seconda del resto che danno quando vengono divisi per N.

La (1) è perfettamente equivalente alla

Si dice anche che a è congruo a b modulo n, e si scrive:

Pertanto le espressioni: 13 divide (60 - 34), 60 = 34 mod 13, 60 º 34 (mod 60), dicono la stessa cosa:

60 e 34 appartengono alla stessa classe di resto modulo 13, la classe del resto 8

... -14 -7 0  7 14 ... classe di 0
... -13 -6 1  8 15 ... classe di 1
... -12 -5 2  9 16 ... classe di 2
... -11 -4 3 10 17 ... classe di 3
... -10 -3 4 11 18 ... classe di 4
...  -9 -2 5 12 19 ... classe di 5
...  -8 -1 6 13 20 ... classe di 6

In Z_n possiamo definire ora le operazioni di somma, differenza e prodotto modulare:

a + b = c mod n

significa che c è il resto della divisione di (a+b) per n.

Lo stesso vale per

e