Numeri amicali
Due interi positivi m,n si dicono amicali (in inglese amicable) se:
s(m) = s(n) = m + n dove s(x) è la somma di tutti i divisori di xSe definiamo la funzione f(x):
f(x) = somma dei divisori di x minori di x equivalentemente f(x) = s(x) - xallora m,n sono amicali se e solo se
n = f(m) m = f(n)La prima coppia di numeri amicali che si incontra è (220, 284). Infatti:
f(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 f(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220Questa coppia era nota già a Pitagora, e forse prima.
fissato n intero positivo, se i numeri: p = 3 2n-1 - 1 q = 3 2n - 1 r = 9 22n-1 - 1 sono tre primi dispari, allora la coppia (a,b) con a = 2npq e b = 2nr è una coppia di numeri amicaliSi tengano a mente due fatti:
| 1 | 103 |
| 5 | 104 |
| 13 | 105 |
| 42 | 106 |
| 108 | 107 |
| 236 | 108 |
| 586 | 109 |
| 1427 | 1010 |
| 3340 | 1011 |
| 7642 | 1012 |
x0, x1 = f(x0), ..., xn = f(xn-1),..Per esempio, se si parte con x0 = 190, si ottiene:
190, 170, 154, 134, 70, 74, 40, 50, 43, 1, 0Si arriva a 0 in 10 passi. Si noti che f(1) = 0, e f(p) = 1 per ogni primo p, mentre f(0) non è definito; l'iterazione si ferma se si arriva a 0.
1) arrivare a 0, come quella che parte da 190 2) entrare in un ciclo più o meno lungo, e ripetersi all'infinito 3) crescere al di là di ogni limite finitoNel caso 2) si distinguono tre sottocasi:
2.1) il ciclo ha lunghezza 1, ...a, a, a, ... 2.2) il ciclo ha lunghezza 2, ...a, b, a, b, ... 2.3) il ciclo ha lunghezza maggiore di 2, ...a, b,.., z, a, b,..z,a,...Il caso 2.1 occorre quando a = f(a); i numeri con questa proprietà sono i numeri perfetti. il caso 2.2 si ha se f(a) = b e f(b) = a: pertanto i cicli di lunghezza due sono esattamente le coppie di numeri amicali che abbiamo studiato.
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Il numero di Erdös ed il baseball (II):
I numeri di Ruth-Aaron.
Carl Pomerance è uno dei matematici più noti ed apprezzati nel suo campo: la teoria dei numeri.
Come molti americani Pomerance ama il baseball, e l'8 aprile 1974 non fu per lui un giorno
come gli altri. In quel giorno "Hank" Aaron superò il limite di 714 homeruns (traguardo conseguito
dal grande "Babe" Ruth, e restato imbattuto dalla sua morte, avvenuta nel 1935). Aaron
arrivò dunque a quota 715. Pomerance, con alcuni suoi colleghi e studenti, osservò che S(714) = S(715),
dove S(n) è la somma dei fattori primi di n contati con la loro molteplicità. Per esempio 175 = 25 x 7,
e quindi S(175) = 2 x 5 + 7 = 17. Gli interi 714 e 715 sono entrambi prodotto di primi distinti:
714 = 2 3 7 17 715 = 5 11 13Si constata immediatamente che S(714) = S(715) = 29.
714 715 = 510510 = 2 3 5 7 11 13 17 = P7 dove Pk è il prodotto dei primi k numeri primi.Si chiesero: esistono altre coppie di numeri consecutivi il cui prodotto sia un Pk?
1 2 = P1 2 3 = P2 5 6 = P3 14 15 = P4 714 715 = P7Poiché il range della ricerca eseguita era arrivato a coprire interi di circa 6000 cifre, senza trovare altri casi, fecero la seguente congettura:
Congettura 1Segue, nell'articolo, una notevole costruzione di numeri di Ruth-Aaron:
Non esistono coppie (n, n+1) tali che n(n+1) sia il prodotto dei primi k numeri primi per n > 714
Sia x un intero tale che i numeri: s = 2x + 1 p = 8x + 5 q = 48x2 + 24x - 1 r = 48x2 + 30x - 1 siano tutti primi. Allora: pq + 1 = 4sr S(pq) = p + q = 4 + s + r = S(4sr) e pertanto pq è un numero di Ruth-AaronCosì, per esempio, per x = 3, abbiamo s = 7, p = 29, q = 503, r = 521, e pq è il numero di Ruth-Aaron 14587.
Congettura di Schinzel:I polinomi s, p, q, r soddisfano alle ipotesi della congettura di Schinzel, che in generale è considerata vera dagli esperti. Quindi gli autori formularono la:
Siano f1(x), f2(x),...,fk(x) k polinomi irriducibili con coefficienti interi tali che per ogni primo q, esiste un n tale che q non divide il prodotto degli fj(n). Allora f1(x), f2(x),...,fk(x) sono simultaneamente primi per infiniti interi x.
Congettura 2 Esistono infiniti numeri di Ruth-AaronInoltre - visto che dai dati sperimentali i numeri di Ruth-Aaron risultavano estremamente rari - Nelson, Penney e Pomerance proposero la:
Congettura 3 La densità dei numeri di Ruth-Aaron è zero.La Congettura 3 significa che, se definisco ra(x) il numero degli interi di Ruth-Aaron minori di x, allora il limite per x che tende a infinito di ra(x)/x è zero.
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Il numero di Erdös ed il baseball (I).
Erdös (1913-1996) fu uno dei matematici più prolifici mai vissuti. Visse 83 anni, a 18
pubblicò il suo primo articolo, poco oltre i 60 era a quota settecento! La lista completa
dei suoi lavori era arrivata il primo gennaio 2002 a includere 1514 riferimenti;
sebbene Erdös sia morto nel 1996 è probabile che l'elenco si allunghi, perché
alcuni dei suoi tanti collaboratori stanno lavorando ancora su articoli
iniziati con lui.
Erdös considerava la proprietà un fastidio, e tutti i suoi averi stavano in un paio di valigie semivuote.
E poche valigie furono utilizzate in modo più intesivo: nessuno sapeva mai dove fosse Erdös, nemmeno a volte
in quale nazione si trovasse in quel momento. La sua unica passione era la matematica,
tanto che nel gergo particolarissimo che utilizzava "trivial being" indicava un
non-matematico e "died" era chi (tra i viventi, cioè i tra matematici) aveva smesso di fare
matematica. Nel suo linguaggio "vino, donne e musica!" diventa "poison, bosses and noise!".
Si possono trovare molte altre notizie sul bel sito di Paul Hoffman, dedicato completamente a
Erdös. Hoffman ha scritto una biografia
di Erdös, tradotta anche in italiano, e pubblicata da Mondadori: "L'uomo che
amava solo i numeri".
Erdös ora può consultare il libro che solo Dio possiede, libro di cui parlava spesso, quello con le più belle dimostrazioni di tutti i teoremi matematici. Diceva, quando incontrava una dimostrazione perfetta: "questa dimostrazione viene dal libro..."
Erdös amava le dimostrazioni 'elementari' di proposizioni difficili. Una sorta di free climbing, come attaccare una parete a mani nude; non è cosa da tutti, ci vogliono grande preparazione, forza fuori dal comune, tanta attenzione e coraggio!
A venti anni dimostrò (in modo elementare) la congettura di Bertrand: tra un intero n ed il suo doppio 2n c'è sempre un numero primo. Questo teorema era già stato provato da Chebyshev nel 1850, che aveva però utilizzato complessi strumenti analitici.
Se è vero che le melodie non si inventano ma si trovano, e che tutti i teoremi vengono scoperti e riscoperti, e dunque già esistono, rimane tuttavia da convincere gli altri della verità e della bellezza di quello che si è visto e udito in solitudine. Erdös è stato probabilmente il più bravo a portare alla luce verità matematiche profonde e difficili, mostrandole a tutti nella loro forma più bella.
Per evidenziare l'immensa influenza che il pensiero originalissimo e l'incredibile attività di Erdös hanno esercitato sulla scienza contemporanea, i matematici hanno introdotto un numero, detto 'numero di Erdös', così definito:
1) Solo Erdös ha numero di Erdös zero.
2) Chi ha pubblicato un lavoro con Erdös ha numero di Erdös uno.
3) Se A firma un lavoro con B, e B ha numero di Erdös n, A acquista numero di Erdös
n+1.
4) Se partendo da A non si arriva a Erdös attraverso nessuna catena di co-autori, allora A ha numero di Erdös infinito.
Jerry Grossman cura un sito sul numero di Erdös. E' veramente impressionante leggere, nella pagina di Grossman Some Famous People with Finite Erdös number, l'elenco dei personaggi con basso numero di Erdös! Oltre a decine e decine di premi Nobel in fisica, economia, chimica e medicina, troviamo l'elenco quasi completo dei premi Fields, Wolf, Steele, e anche nomi che non avremmo forse immaginato, come Karl Popper e Jean Piaget, che hanno numero di Erdös rispettivamente 4 e 3.
Mmm, e il baseball...? Alla prossima puntata!
(continua)
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Numeri grandi (II).
Diversi e significativi esempi di interi colossali sono dati nel bellissimo articolo "Enormous integers in real life" di Harvey M. Friedman.
Ne vediamo insieme uno.
Friedman comincia col definire le funzioni A(k,n) di Ackerman. E' una definizione ricorsiva, come quella del rango che abbiamo visto il 10 maggio, ma in due variabili.
Tutti i numeri che consideriamo sono interi positivi.
Per definizione:
A(k,1) = 2, per ogni kOsserviamo che A(k,2) = 4 sempre.
A(1,n) = 2n, per ogni n
A(k,n) = A(k-1,A(k,n-1)), per ogni k ed n maggiori di 1
A(4,k), per usare le parole di Friedman, "is confusing".
Abbiamo A(4,n) = A(3,A(4,n-1)) = E*(A(4,n-1)) = E*(E*(A(4,n-2))) = ...
= E*(E*(E*(...E*(1))...)), dove ci sono n E*.
Segue facilmente che A(4,5) = E*(E*(65536)). Cioè A(4,5) è una torre esponenziale con 265536 2. A questo punto possiamo credere che A(5,5) sia veramente grande!
Io amo molto passeggiare a caso per le città che visito, possibilmente senza ripassare mai per lo stesso punto.
Tecnicamente si tratta di un cammino casuale autoevitante in N2, dove con N denotiamo l'insieme dei naturali.
Sia k un intero positivo; definiamo cammino in Nk una successione x1, x2,...,xn,... (dove le xi stanno in Nk) tale che la distanza reticolare tra due posizioni successive sia 1.
La distanza reticolare tra x ed y in Nk è la somma dei valori assoluti delle differenze delle componenti di x ed y.
In sostanza, per passare da una posizione xi a quella successiva xi+1 ci spostiamo di una lunghezza unitaria in una delle k possibili direzioni, cambiando quindi di più o meno 1 una sola componente di xi.
Diciamo che un cammino in Nk è autoevitante se gli elementi della successione non si ripetono mai.
Dati x,y in Nk, diciamo che y è situato esternamente rispetto ad x se ogni componente di x è minore o uguale alla relativa componente di y.
Diciamo cammino soddisfacente un cammino tale che esistano in esso due punti xj e xm, con j minore di m, tali che xm sia situato esternamente rispetto a xj e la distanza di xm dall'origine sia almeno doppia della distanza tra xj e l'origine.
Si dimostra che se il mio cammino autoevitante è abbastanza lungo, allora è sicuramente soddisfacente :)
Ma quanto deve essere lungo?
Definiamo W(x) = n, dove n è il minimo intero tale che un qualunquecammino autoevitante di lunghezza n che parte da x è sicuramente soddisfacente.
Allora si prova che:
in N3, W((2,2,2)) è almeno 2102938011
in N4, W((2,2,2,2)) non è inferiore a E*(E*(102938011))
in N6, W((1,1,1,1,1,1)) è più grande del nostro inconcepibile A(5,5)
E' chiaro che se pensiamo a quello che stiamo facendo, è facilissimo ottenere un cammino soddisfacente, proseguendo sempre verso l'esterno.
Se, invece ci abbandoniamo al caso...
Si possono fare alcune riflessioni interessanti eliminando nella definizione di cammino soddisfacente la condizione che xm sia situato esternamente a xj. Definiamo allora cammino soddisfacente un cammino tale che esistano in esso due punti xj e xm, con j minore di m, tali che la distanza di xm dall'origine sia almeno doppia della distanza tra xj e l'origine.
Lasciamo invariata la definizione di W(x).
E' difficile come prima calcolare W(x)? Quanto vale W((2,2))? La crescita di W((2,2,2,...)) con n 2, è esponenziale in n?
Buon divertimento!
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Numeri grandi (I).
"Lo sviluppo dell'individuo, si dice, riflette in miniatura lo sviluppo della specie; così anche per i numeri. Un bambino non può concepire numeri grandi e, in realtà, non ne ha alcun bisogno. La razza umana non ne ha avuto alcuna necessità per secoli e così c'è voluto molto tempo per arrivare a esprimere le più alte potenze di dieci."
E' difficile cominciare a parlare di grandi numeri senza citare questo passo, tratto dal libro di Philip J. Davis, "Il mondo dei grandi numeri", edito da Zanichelli.
Una vecchia favola racconta che - tanti tanti anni fa - il Re della Cina volle premiare l'Inventore del gioco degli scacchi. Lo invitò a corte e gli disse "Chiedi quello che vuoi e te lo darò, in premio per questo splendido gioco!".
Rispose l'Inventore: "Voglio solo un grano di riso..."
E subito venne interrotto dal sarcasmo dei colti nobili presenti: "Non vale molto, un grano di riso..."
Continuò: "Sì, un grano per il primo quadrato della scacchiera, nel primo giorno. Poi due grani per il secondo quadrato, il secondo giorno, poi quattro per il terzo, otto per il quarto, sedici per il quinto e così via, fino al sessantaquattresimo quadrato nel sessantaquattresimo giorno..."
Il Re accettò, malgrado il parere negativo dei suoi consulenti matematici.
Ora nel giorno n-esimo l'Inventore avrebbe dovuto ricevere 1 + 2 + 4 + ... 2n-1 = 2n - 1 grani di riso. Se supponiamo che un grano di riso pesi 0,033 grammi, dopo10 giorni la somma dà 34 grammi, dopo 30 giorni dà 35 tonnellate di riso, e al sessantaquattresimo giorno dà 600 miliardi di tonnellate, circa 100 tonnellate a testa per l'attuale popolazione mondiale, ridotta per l'occasione a sei miliardi di persone!
Questo fenomeno è noto ai matematici come "crescita esponenziale".
Per fare un altro esempio, supponiamo di avere un grande :) foglio di carta, spesso 0,1 mm, e di piegarlo in due più volte. Dopo 14 piegature abbiamo sul tavolo un blocco di carta alto circa 1,6 m, dopo 30 il suo spessore supererà il limite dell'atmosfera, dopo 50 avrà raggiunto il sole, dopo 70 raggiungerà la distanza (astronomica veramente) di una dozzina di anni luce!
Non ci rendiamo conto di questi fatti, che sembrano impossibili, e subiamo passivamente l'eredità biologica di cui parla Davis: la razza umana non ha avuto alcuna necessità di questi numeri, per millenni!
E ora, che necessità c'è? Ebbene, le potenze di 2 sono molto importanti anche in economia, e forse dovremmo pensare più spesso ai problemi del consumo eccessivo, e non dimenticare che tra le motivazioni fondamentali della
crisi delle risorse globali c'è proprio l'aumento esponenziale dei consumi presso le nazioni ricche!
E' comunque molto difficile comprendere la grandezza espressa da un numero N. In genere siamo colpiti dal numero delle cifre di N, che però è proporzionale solo al suo logaritmo. E' persino difficile dire un numero grande!
Molti matematici si sono occupati di questo problema.
Walter Schneider, nella pagina del suo sito dedicata a All Numbers Large and Beautiful, introduce il concetto di rango di un intero positivo x:
Se Log è il logaritmo in base 10, si definisce ricorsivamente rango(x) il numero:
rango(x) = Log(x) se x è compreso tra 1 e 9Alcuni esempi:
rango(x) = 1 + rango(Log(x)) se x è maggiore di 9
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Il teorema di Napoleone.
Ei fu. Siccome immobile,
dato il mortal sospiro,
stette la spoglia immemore
orba di tanto spiro,
così percossa, attonita
la terra al nunzio sta,
muta pensando all'ultima
ora dell'uom fatale;
né sa quando una simile
orma di pie' mortale
la sua cruenta polvere
a calpestar verrà.
Napoleone si interessò molto di matematica e di scienza. Anche dopo essere diventato primo console, era orgoglioso della sua appartenenza all'Istitute de France, e coltivava l'amicizia - tra le altre - di Fourier, Monge, Laplace, Chaptal e Berthollet. Nella sua spedizione in Egitto portò con sè più di 150 esperti in vari campi, tra i quali Monge, Fourier e Berthollet. Discuteva a lungo con i membri del suo Istituto mobile, incurante della incomprensione dei generali.
Viene attribuito a Napoleone il seguente teorema:
In un triangolo, si costruiscano i triangoli equilateri sui lati, esternamente ai lati stessi. I centri di questi triangoli equilateri costituiscono i vertici di un triangolo equilatero (si veda la figura sotto).
Per una dimostrazione si veda l'interessante articolo Il miracolo di Morley ed altre regolarità dei triangoli di Renato Betti.
Si riporta anche che Napoleone fu l'autore della palindrome :
ABLE WAS I ERE I SAW ELBA
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Il gene matematico.
E' in corso a Washington, nella sede della American Association for the Advancement of Science una conferenza dal titolo "Can We Talk? A Public Conversation About Behavioral Genetics and Society." (2-3 maggio 2003).
Ognuno di noi è in parte determinato dal suo patrimonio genetico e dall'ambiente in cui è vissuto. Nel convegno ci si interroga sull'impatto relativo di questi fattori nella formazione della personalità. Vengono trattati comportamenti complessi ed anomali come la schizofrenia, i disturbi bipolari, l'autismo, l'alcolismo: famiglia sbagliata, educazione fallita, cattive compagnie, destino genetico, o quale combinazione di questi e altri fattori?
A sorpresa (ma forse non troppo) tra i conferenzieri si trova un matematico. Keith Devlin, autore del libro Il Gene della Matematica (oltre che di una ventina di altri testi...), ha affermato, nel suo intervento, che non vi è sostanzialmente alcuna differenza tra il cervello di chi ricorre alla calcolatrice tascabile per calcolare 16 per 7 e quello del famoso matematico Andrew Wiles!
A sostegno della sua convinzione Devlin dice che la matematica non ha più di 2000 - 3000 anni, e tutto quello che si insegna in una scola superiore non ha più di trecento anni. In periodi così brevi il cervello umano non è cambiato: quindi era già predisposto al ragionamento matematico.
Devlin sostiene che la capacità matematica si basa su alcune abilità mentali acquisite nel corso dei millenni dalla razza umana, utili per la sopravvivenza.
Alcune di queste abilità, come vedere a colpo d'occhio se ci sono molti più individui nel mio gruppo o in quello degli avversari (senso del numero), la percezione dello spazio tridimensionale, lo scoprire relazioni esistenti tra fatti o oggetti , sono nel nostro DNA e non vengono apprese.
Altre invece, come il contare, ci vengono passate attraverso uno specifico insegnamento, ed hanno avuto probabilmente una origine parallela alla nascita del linguaggio.
Secondo Devlin la complessità della logica e delle relazioni in un qualunque telefilm che vediamo in TV , è molto più grande di quella di una pagina di un libro di matematica. Noi comprendiamo quello che accade senza alcuno sforzo, semplicemente perché si tratta di cose che avvengono nel mondo in cui viviamo. Il "trucco" del matematico consiste nel considerare reali gli oggetti matematici, nel farli partecipare alla nostra vita.
Per questo è molto importante il tipo di educazione che si riceve nei primi anni: è allora che i numeri possono diventare amici utili e divertenti. Piano piano, conoscendoli meglio, si verrà catturati dal loro fascino misterioso, dalla profondità delle loro relazioni.
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Un temperamento matematico.
Per accordare un pianoforte usiamo due semplici regole, che risalgono a Pitagora:
Regola 1) Se raddoppiamo la frequenza passiamo alla stessa nota dell'ottava superiore.
Regola 2) L'intervallo di quinta perfetta corrisponde a triplicare la frequenza della nota.
L'ottava - sul nostro pianoforte - è suddivisa in 12 semitoni (12 tasti, 7 bianchi e 5 neri) :
Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si, Do dell'ottava successiva.
Assegnamo in ordine ai semitoni gli interi 0, 1, 2, 3,..., 11, che rappresentano i resti della divisione per 12.
Supponiamo di avere tante ottave quante vogliamo numerate 0, 1, 2, 3,... Contrassegnamo ora le note della prima ottava con Do0, Do#0, Re0,..., Si0, quelle della seconda ottava con Do1, Do#1, Re1,....,Si1, etc.
In questo modo ad ogni nota corrisponde un numero naturale e viceversa. Per esempio a Sol#13 (il Sol# della quattordicesima ottava) corrisponde il numero 13*12 + 8 = 164, e al numero 40 corrisponde la nota Mi3, dove 3 è il quoziente della divisione di 40 per 12, e 4 (= Mi) è il resto.
L'intervallo di quinta perfetta corrisponde a 19 semitoni.
Partiamo ora da 0 (Do0) e calcoliamo i successivi intevalli di quinta perfetta, aggiungendo sempre 19:
0, 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228,...
e trasformiamo in note la sequenza:
(*) Do0, Sol1, Re3, La4, Mi6, Si7, Fa#9, Do#11, Sol#12, Re#14, La#15, Fa17, Do19,...
Assegnamo ora il valore convenzionale 1 alla frequenza della nota Do0 (non si confonda la frequenza della nota con in numero che rappresenta la nota stessa). Allora per la regola 1, il Do dell'ottava seguente, Do1, ha fraquenza 2. Per la regola 2 Sol1 ha frequenza 3. Allora per la regola 1 Sol0 ha frequenza 3/2. La quinta perfetta della chiave di Sol0 è il Re2, che pertanto ha frequenza 9/2; dimezzando per due volte - ancora per la regola 1 - si ottiene la frequenza del Re0 = 9/8.
Proseguendo in questo modo si possono ottenere tutte la frequenze:
Do0 ha frequenza 1
Re0 ha frequenza 9/8 = 1,125
Mi0 ha frequenza 81/64 = 1,265
Fa0 ha frequenza 177147/131072 = 1,351
So0l ha frequenza 3/2 = 1,5
La0 ha frequenza 27/16 = 1,687
Si0 ha frequenza 243/128 = 1,898
Do1 ha frequenza 2
Per capire il valore della frequenza del Fa (311/217) si osservi il giro della quinta (*). Fa17 si trova all'undicesimo posto (partendo dal posto 0, Do0). Dunque per la regola 2 (sono tutti intervalli di quinta, ove ogni volta si triplica la frequenza) la frequenza di Fa17 è 311. Per trovare la frequenza di Fa0 bisogna scendere di 17 ottave, e per ogni ottava in discesa si dimezza la frequenza. Quindi la frequenza di Fa0 è 311/217.
Ora se partiamo dal Do0 e andiamo avanti di 12 quinte perfette otteniamo (triplicando ogni volta per la regola 2) la frequenza 312; abbiamo per 12 volte aggiunto un intervallo di quinta perfetto, arriviamo dunque a 0 + 12 x 19 = 228. Troviamo allora Do19, che per la regola 1 dovrebbe avere frequenza 219. Però 312 = 531441 e 219 = 524288. Non sono uguali! Esiste una discrepanza. La regola 1 e la regla 2 sono incompatibili!
Potremmo per altro decidere di dividere l'ottava in un numero n di semitoni diverso da 12, e di stabilire un intervallo di quinta perfetta (triplicazione della frequenza) pari ad m (eventualmente diverso da 19) semitoni. Ora dato un numero intero q, il quoziente della divisione di q per n indicherà la posizione della 'ottava' ed il resto della divisione sarà la nota.
Ragionaniamo come prima. Se partiamo da 0 e andiamo avanti di n quinte perfette, otteniamo la frequenza 3n, per la regola 2. Abbiamo per n volte aggiunto un intermallo di quinta perfetta, costituito per ipotesi da m semitoni: siamo allora in 0 + nm = nm. Dividendo nm per n si hanno quoziente m e resto 0. Siamo sulla nota inziale della m+1 esima ottava, esattamente m 'ottave' sopra la nota iniziale 0. Per la regola 1 la frequenza deve essere 2m. Si dovrebbe avere (**) 3n = 2m, cosa ovviamente impossibile.
Ci chiediamo: quali n ed m danno il migliore risultato?
Denotiamo cn Log il logaritmo in base 2, ed applichiamolo ad entrambi i membri della (**). Otteniamo nLog[3]=m, ovvero (***) Log(3) = m/n.
Poiché Log(3) è irrazionale, la (***) non sarà mai verificata, cosa che sapevamo.
Con la tecnica delle frazioni continue possiamo però calcolare le migliori approssimazioni razionali m/n a Log[3]. Per queste frazioni m/n (che significano - non dimentichiamolo - dividere l'ottava in n semitoni e considerare l'intervallo di di quinta perfetta di m semitoni) la discrepanza |3n - 2m| nella (**) sarà minimizzata in modo ottimale.
Lo sviluppo in frazione continua di Log(3) è [1,1,1,2,2,3,1,5,2,...].
Le migliori approssimazioni sono: 1, 2, 3/2, 8/5, 19/12, 65/41, 84/53, ...
Forse 5 semitoni sono pochi (meno delle 7 note!), e 41 troppi! Rimane 19/12, n=12, m=19, ottava divisa in 12 semitoni, e quinta perfetta di 19 semitoni ... non sembra un caso!
(variazioni su di un tema di Edward G. Dunne "A mathematical temperament")
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Fattori di Fermat.
Circa due mesi fa, il 21 febbraio 2003, John B. Cosgrave ha annunziato la soperta di un nuovo gigantesco fattore primo di un numero di Fermat! Ho inserito i dati con qualche informazione sui numeri di Fermat, qui.
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Il miglior trucco di carte.
Personaggi: il Mago (tu), l'Assistente e il Pubblico.
Strumenti: un mazzo di 52 carte standard, ingegno e memoria.
Il gioco: il Pubblico sceglie 5 carte (a caso o con qualsiasi criterio desideri) e le passa all'Assistente. L'Assistente le guarda, le rimescola, ne prende una che affida al Pubblico - senza che il Mago possa vederla in alcun modo - e dà le altre quattro al Mago. Il mago osserva le carte e indovina quella in possesso del pubblico.
Ora come questo è possibile? L'Assistente in sostanza può passare al Mago - come informazione - la scelta di una particolare permutazione di 4 carte. Ma ci sono 24 permutazioni di 4 carte e ben 48 carte - diverse dalle 4 che ha in mano il Mago - tra le quali scegliere!
Soluzione:
Il Mago e l'Assistente concordano un ordinamento delle 52 carte: per esempio prima si ordina il seme Come Quando Fuori Piove (Cuori, Quadri, Fiori, Picche) e poi le carte dall'uno (asso) al 13 (re).
Su cinque carte per forza due sono dello stesso seme: sarà una di queste ad essere data al Pubblico dall'Assistente.
La seconda carta dello stesso seme sarà la prima nel mucchietto di 4 carte che viene consegnato al mago, e gli segnala il seme.
A questo punto occorre comunicare al Mago solo il numero tra 1 e 13 della carta nascosta. Ma ci sono 12 scelte (una è eliminata dalla prima carta del mucchio) e solo 6 permutazioni di tre carte! Supponiamo di mettere in circolo i numeri 1, 2, ..., 13. Sul cerchio la distanza tra due carte diverse è sempre minore o uguale a 6, e può essere espressa dalla permutazione delle rimanenti tre carte. Come? Nell'ordinamento dato ci sarà una carta Bassa, una Media ed una Alta. Basta allora che il Mago e l'Assistente convengano un ordinamento tra 1 e 6, per esempio BMA = 1, BAM = 2, MBA = 3, MAB =4, ABM = 5, AMB = 6.
Supponiamo che l'Assistente riceva dal pubblico C3, Q8, Q1, F3, P9. Allora dà al pubblico Q1, e al Mago - nell'ordine esatto - Q8, P9, F3, C3. Il Mago riceve, vede che il seme è quadri e scarta Q8. Esamina P9, F3, C3 e vede che è la sequenza AMB che corrisponde a 6. Sul cerchio parte allora da 8 (viene sempre dalla prima carta) e si sposta di 6 passi 9, 10, 11, 12, 13, 1. Trionfalmente il mago annuncia: la carta nascosta è l'asso di Quadri!
Buon divertimento! (ma attenti a non sbagliare...)
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La musica dei primi.
Nelle sue pagine sui numeri primi Chris Caldwell ha inserito una sezione ove si apprende come generare ed ascoltare la musica che essi producono! La musica viene scritta in un formato Midi, ove ogni nota è rappresentata da un numero. Poiché i primi sono infiniti, e la tastiera finita, essi vengono ridotti utilizzando un modulo M di volta in volta prefissato, per esempio 7. Modulo 7 la successione dei primi diventa 2, 3, 5, 0, 4, 6, 3, ... Poichè queste note sulla Midi sono tutte basse si aggiunge una costante (per esempio 55) per spostarle al centro. Si può partire da un qualsiaisi punto della successione.
Molto interessante è la durata della nota (il numero primo che stiamo suonando): essa è posta uguale ad una costante moltiplicata per (pn+1 - pn)/log(pn).
Nel sito si può creare musica o sentire pezzi già registrati; ci sono molti quiz, ed il navigatore attento può imparare molte cose sulla distribuzione dei numeri primi! Troviamoci allora nella sala da concerto dei numeri primi di Chris Caldwell!
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Superformula biologica.
Un biologo belga ha scoperto una 'superformula' che rappresenta una vasta costellazione di forme assai diverse tra di loro: triangoli, pentagoni, stelle, spirali, petali... Quando sullo schermo del suo computer ha visto questo brulicare di geometrie elmentari e complesse ha pensato di avere fatto qualche errore nel programma. Invece era tutto giusto. Si è informato, ha parlato con molti matematici: la sua formula è nuova di zecca, nessuno l'ha mai scoperta prima!
L'articolo di Johan Gielis è stato pubblicato sul numero 90 (2003) dell'American Journal of Botany.
Sul bellissimo sito dell'astrofisico Paul Bourke si trova (tra infinite splendide curve) una pagina dedicata alla superformula e alle sue creature!
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