MANDELBROT E JULIA
Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia derivano dall'iterazione della funzione complessa quadratica
F(z,c) = z2+c
dove z varia nel campo C dei complessi e c è una costante fissata.
Diciamo successione delle iterate di F a partire da z la successione:
z0=z, z1=F(z0), ..., zn=F(zn-1)...
Nella parte sulle iterazioni si è già osservato che il piano complesso risulta diviso in due parti:
la prima, detta insieme di Julia di F e denotata J(F), è costituita da tutti i punti z di C tali che la successione delle iterate di F a partire da z rimane limitata (cioè esiste un numero M tale che sia sempre |zn|<M);
la seconda è l'insieme complementare, cioè è costituito dai punti z di C tali che - a partire da essi - la successione delle iterate tende all'infinito, o come si dice familiarmente scappa.
Particolarmente interessante poi è la frontiera dell'insieme J(F) che è assai complessa.
Come possiamo in pratica sapere se un punto sta in J(F) o meno?
In pratica si scelgono un valore di soglia L (in genere L=2) ed un numero massimo di iterazioni M (per esempio M=100) e si procede come segue:
si calcola la successione delle iterate zn a partire da z con n <= M;
se il modulo di zn resta minore di L z viene considerato un punto interno a J(F);
se invece la successione scappa ad una iterazione m il punto z viene segnato sullo schermo con un colore che dipende da m: questo dà un'idea della frontiera di J(F).
In realtà esistono due piani complessi da considerare: il piano della variabile complessa z nel quale si traccia l'insieme di Julia J(F) con il metodo descritto sopra, e il piano della costante complessa c nel quale si disegna il frattale di Mandelbrot, che ora descriviamo.
Dato c si prende come z0 iniziale z0=0 e si itera la solita funzione
F(z,c) = z2+c
un certo numero di volte fino al massimo M. Se |F(z)| resta minore di L, c viene colorato di blu ed appartiene alla parte limitata della figura di Mandelbrot. Altrimenti verrà colorato con un colore che dipende dal numero di iterazioni occorse per far superare L al modulo di F(z).
Al crescere di M, cioè del massimo numero di iterazioni, aumentano evidentemente i dettagli della figura frattale perché aumentano le possibilità di distinguere i punti uno dall'altro: con un basso numero di iterazioni vi sono poche differenze visibili ed i colori si distribuiscono in grandi zone piatte. Per avere un'idea concreta di questo fatto cliccate su "immagini".
Si può pensare alla figura di Mandelbrot come ad un indice di tutte le figure di Julia: ogni punto c in Mandelbrot determina una funzione F ed una relativa figura di Julia. Questo sarà ancora più chiaro sperimentando con l'applet di James Henstridge.