L-SISTEMI, CURVE FRATTALI E DIMENSIONE FRATTALE

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Vediamo ora la famosa curva di Peano che fu una delle scoperte più sorprendenti dell'epoca (1890).

Si parte da un tratto verticale, già presente nell'applet di sotto, e ad esso si sostituisce un percorso piuttosto complesso che si osserva nella figura a fianco dove è più facile seguirlo con le frecce.

Cliccate sull'applet: appare ora lo stesso percorso della figura, formato da 9 tratti di lunghezza 1/3 U. L'algoritmo procede sostituendo lo stesso ghirigoro (però formato da tratti di lunghezza 1/9 U) ad ognuno dei 9 tratti, e così via.
La curva di Peano è la curva limite che si ottiene iterando il procedimento infinite volte. Il fatto straordinario è che essa riempie tutto il quadrato!

Seme iniziale: F
Sostituzione: F --> F+F-F-F-F+F+F+F-F
Angolo alfa: 90°

Successivamente a Peano Hilbert ideò un'altra curva che riempie tutto il quadrato. La differenza notevole con la curva di Peano è che la curva di Hilbert non interseca mai se stessa.
Noterete che per creare la curva di Hilbert ci sono 2 sostituzioni e ci sono 2 nuovi simboli nel nostro alfabeto, L ed R, che non corrispondono ad alcun comando grafico e vengono ignorati dalla tartaruga che legge la stringa finale.
Seguiamo quello che accade: si parte dal seme L che diventa +RF-LFL-FR+. All'inizio la tartaruga è orientata orizzontalmente verso destra. Leggiamo insieme a lei la stringa:
+ : ruota di 90° in senso antiorario, ora è diretta verso l'alto
R : non fa nulla
F : muove di un tratto
- : gira di 90° in senso orario
L : non fa nulla
F : avanza di un tratto, adesso siamo nell'angolo a destra in alto
L : non fa nulla
- : si gira verso il basso
F : avanza di un tratto, siamo nell'angolo in basso a destra
R : non fa niente
+ : ruota in senso antiorario di 90°
Come vedete questo è il disegno tracciato sullo schermo dell'applet, la quale inizialmente trasforma il seme e interpreta la stringa risultante. Adesso alla stringa +RF-LFL-FR+ vengono applicate le due regole di sostituzione: ogni R diventa -LF+RFR+FL- ed ogni L diventa +RF-LFL-FR+. Il risultato finale è la stringa
(*) +-LF+RFR+FL-F-+RF-LFL-FR+F+RF-LFL-FR+-F-LF+RFR+FL-+ .
Se ora cliccate una volta sull'applet la tartaruga interpreta la stringa (*); se avete voglia potete controllare voi stessi leggendola e stando attenti a seguire le regole che abbiamo esemplificato sopra. Si osservi che là dove la tartaruga percorre 2 trattini di seguito si hanno le sequenze F-+RF e FR+-F ; sono proprio il "+-" e il "-+", cioè il ruotare di 90° prima in un senso e poi nel senso contrario a far sì che la tartaruga vada dritta.

Seme iniziale: L
Prima sostituzione: L --> +RF-LFL-FR+
Seconda sostituzione: R --> -LF+RFR+FL-
Angolo alfa: 90°

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