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L-SISTEMI, CURVE FRATTALI E DIMENSIONE FRATTALE
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Sia la curva di Peano che quella di Hilbert riempiono il quadrato. Noi pensiamo ad una curva nel piano come ad un oggetto di dimensione 1, mentre un quadrato è un oggetto di dimensione 2.
Come è dunque questo possibile? Per rispondere a questa affascinante domanda dobbiamo introdurre il concetto di dimensione frattale.
La dimensione frattale è una generalizzazione del concetto ordinario di dimensione.
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Dimensione d=1. Se dividiamo un segmento in n parti uguali ognuna di esse è rimpicciolita di un fattore r=1/n. Si ha nr=1. Nel caso della figura n=2 ed r=1/2.
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Dimensione d=2. Se dividiamo il quadrato in n=4 parti il lato di ognuna di esse è rimpicciolito di un fattore r=1/2 e nr2=1.
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Dimensione d=3. Se ogni lato viene diviso in 2 parti, cioè rimpicciolito di un fattore r=1/2 il cubo si suddivide in n=8 parti e ancora nr3=1.
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Ora generalizziamo: per un oggetto di n parti, ognuna rimpicciolita di un fattore r, si deve avere
n rd = 1
Prendendo il logaritmo da entrambi i lati ed utilizzando le proprietà note del logaritmo otteniamo la definizione di dimensione frattale d:
d = (log (n)) / (log (1/r))
Calcoliamo ora la dimensione frattale della curva di Peano osservando il ghirigoro che la tartaruga traccia sostituendo al tratto iniziale l'interpretazione grafica di F+F-F-F-F+F+F+F-F; questo è rappresentato in una figura precedente. Esso è costituito di n=9 tratti, ognuno rimpicciolito di r=1/3 della lunghezza iniziale U. Applichiamo ora la formula e otteniamo
d = log(9)/log(3) = 2.
La dimensione della curva di Peano è 2! Questo è il motivo per cui riempie il quadrato. Hanno la stessa dimensione. Lo stesso accade per la curva di Hilbert.
Hilbert ideò anche un'altra curva che riempie il piano, che chiamiamo Hilbert 2: anch'essa ha dimensione frattale 2.
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Seme iniziale: X
Prima sostituzione: X --> XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Seconda sostituzione: Y --> YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
Angolo alfa: 90°
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Per concludere calcoliamo la dimensione frattale della curva di Koch. In questo caso il tratto iniziale di lunghezza U è sostituito da n=4 trattini di lunghezza r=1/3 U. Dunque dalla formula otteniamo
d = log(4) / log(3) = 1,26...