L-SISTEMI, CURVE FRATTALI E DIMENSIONE FRATTALE

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Gli L-Sistemi possono essere utilizzati per produrre iterativamente curve con proprietà eccezionali.
Iniziamo con la curva "fiocco di neve" di Koch. Si inizia con un triangolo equilatero che potete vedere già disegnato nell'applet sottostante. Ora ogni lato viene suddiviso in 3 parti uguali e sulla parte centrale si costruisce un triangolo equilatero: provate a cliccare una volta sull'applet sottostante per vedere il risultato. Si ottiene una figura con 12 lati. Ora si continua suddividendo il lato di ogni triangolino (la volta seguente ci sono 48 lati) e così via. Per osservare come prosegue la figura cliccate ancora 3 volte.

Il procedimento illustrato sopra si attua così con un L-Sistema. Seme iniziale: F++F++F (produce il triangolo) Sostituzione: F --> F-F++F-F Angolo alfa: 60°

La curva "Snowflake" di Koch è la curva limite che si ottiene ripetendo questo processo un numero infinito di volte. Questa curva non esce mai dalla superficie della nostra applet e racchiude quindi un'area limitata. Però ogni volta che si esegue un passo si aggiunge alla lunghezza L della curva una quantità uguale a (4/3)^(n-1)U dove n è il numero del passo.
Al passo iniziale 0 la lunghezza della curva è il perimetro del triangolo equilatero, cioè 3U.
Quando n=1 abbiamo 12 lati di lunghezza 1/3 U, quindi L=4U=3U+U. In effetti questo corrisponde ad un aumento di U, che è proprio (4/3)^(n-1)U in quanto
(4/3)⁰=1.
Quando n=2 abbiamo 48 lati di lunghezza 1/9 U ed L=48/9 U=16/3 U. Ancora una volta possiamo constatare che 16/3 U=4U+4/3^(n-1)U perché n=2.

Ora 4/3 è maggiore di 1 (e così tutte le sue potenze (4/3)ⁿ), quindi la lunghezza finale L della curva è maggiore di 3U+U+U+U+..., quindi L è infinita!
Inoltre questa curva è continua ma non è derivabile in alcun punto.

Nel 1905 Cesaro pubblicava una memoria sulla curva di Koch esprimendosi così:
"E' questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa fra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli come la vita dell'universo."