Istruzioni per il Frattale di Newton

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Sotto l'applet c'è una barra che contiene i comandi.
- La prima finestrina (che inizialmente contiene il numero 5) ha sulla destra una freccia; cliccando sulla freccia si ottiene un menu a tendina che contiene le possibili definizioni: 1,2,5,10. Il tempo che impiega l'algoritmo per tracciare il disegno dipende fortemente dalla definizione: è più lento con 1 ed è velocissimo con 10. Si suggerisce di tracciare inizialmente le figure con definizione 2 o 5 e poi passare al rendimento migliore 1 nel caso interessino.
- "Redraw" traccia la figura quando si vuole.
- "Zoom In" consente di entrare nei dettagli della figura. Cliccate su "Zoom In". Quindi con il mouse puntate il cursore vicino alla zona che desiderate ingrandire, premete il tasto sinistro e tenendolo premuto spostatevi nella direzione che volete: apparirà una cornice bianca che racchiude la zona che verrà ingrandita. Appena rilasciate il tasto sinistro inizierà il calcolo ed apparirà più o meno velocemente la figura. Fino a che non ha terminato di tracciare la figura l'applet non risponderà ad altri comandi; si osserva che può sembrare che la figura sia terminata, mentre l'algoritmo sta ancora tracciando una parte completamente nera.
- "Switch" non ha la stessa funzione che nelle applet precedenti perché questo frattale non ha una corrispondente figura di Julia. Premendo "Switch" e cliccando su un punto con il mouse sinistro si ottiene di nuovo la stessa figura ma calcolata per la funzione F(z)=z3-c (dove c rappresenta il punto su cui avete cliccato) invece che z3-1. Premendo di nuovo "Switch" si ritorna a z3-1.

Questo tipo di frattale è molto diverso dai tre precedenti ed è basato sul metodo di Newton per approssimare gli zeri di una funzione. Questo metodo consiste nel calcolare la successione (a partire da un punto z0 in C)

zn+1=zn-F(zn)/F '(zn)
dove F'(z) è la derivata di F(z). Nel nostro caso, dove F(z)=z3-1, la successione ricorrente diventa
zn+1=(2zn3+1)/(3zn2).
L'algoritmo considera gli z0 rappresentati dai pixel compresi nel quadrato di centro l'origine e lati di lunghezza 2. La successione viene calcolata fino a che la distanza tra zn3 e 1 diventa minore di 0,04 oppure il numero delle iterazioni supera il numero massimo di iterazioni prefissate: come nei casi precedenti al pixel viene assegnato un colore che dipende dal numero delle iterazioni effettuate. Nella figura osservate tre bacini di attrazione che si vedono chiaramente e corrispondono ai tre zeri complessi di z3-1.