Benché la nascita dei frattali venga quasi sempre attribuita a Mandelbrot, la loro descrizione si trova già negli scritti di matematici come Cantor, Peano, Hilbert, von Koch, Sierpinski, Julia e Hausdorff.
Uno dei frattali più facili da visualizzare è il triangolo di Sierpinski: per osservare la sua formazione cliccate più volte sulle applet sottostanti:

Come avete visto nell'applet di sinistra si parte da un triangolo e si divide in metà ogni suo lato. Unendo i tre punti medi si ottengono 4 triangoli più piccoli congruenti tra i quali si elimina quello centrale (disegnato in bianco nell'applet). Il procedimento si itera su ognuno dei triangoli rimasti; il triangolo di Sierpinski è quello che rimane ripetendo questo processo all'infinito.
Il triangolo di Sierpinski che emerge dallo sfondo bianco dell'applet di destra azionandola più volte è lo stesso ma viene formato con metodo casuale completamente diverso. Si veda anche questo esempio di IFS.

Una caratteristica fondamentale delle figure frattali è l'autosimilarità. Nel caso appena considerato ogni triangolino che si ottiene ad un dato passo della costruzione è una versione, rimpicciolita di un fattore 2, dell'intero triangolo al passo precedente.

La teoria dei frattali ha moltissime applicazioni nel mondo reale (si veda [Mandelbrot]), alcune delle quali particolarmente sorprendenti come il loro utilizzo nella compressione di immagini. Inoltre sovente gli algoritmi che generano i frattali producono delle immagini di grande bellezza estetica, tanto che è nato un nuovo genere d'arte detta appunto arte (e musica) frattale.
Sicuramente uno dei motivi del fascino di queste figure è che sono complesse, ma di una complessità che non ci disorienta: esse risultano in un certo senso familiari e decifrabili alla nostra mente. Il motivo di questo è che in realtà la loro complessità nasce da leggi molto semplici ed è in sostanza un dispiegarsi assai ridondante di un'iniziale idea elementare.

I frattali si ottengono con metodi assai diversi; potete trovarne alcuni qui:
Sistemi di Lindenmayer, iterazione di funzioni e frattali di Mandelbrot e di Julia.