| Martedi' 27 febbraio 2007 (2 ore) (E.A.) | Presentazione del corso. Definizione e primi esempi di gruppi di Lie tra cui GL(n,R), SL(n,R). Rappresentazione reale di matrici complesse. GL(n,C) e' isomorfo ad un sottogruppo proprio di GL(2n,R). Esempi di morfismi di gruppi (tra due gruppi di Lie) che non sono morfismi di gruppi di Lie. |
| Mercoledi' 28 febbraio 2007 (2 ore) (E.A.) | GL(n,H) e' isomorfo ad un sottogruppo proprio di GL(2n,C).SL(n,H). Il gruppo ortogonale O(n), visto come varieta' differenziabile. O(k,n-k). Base simplettica per una forma bilineare antisimmetrica non degenere. |
| Martedi' 6 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Il gruppo reale simplettico. Gruppi di matrici ad elementi complessi: O(n,C),SL(n,C),U(n), SU(n) e casi particolari. |
| Mercoledi' 7 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Il gruppo Sp(n). RP3 isomorfo a SO(3). Quaternioni e rotazioni. Definizione di algebra di Lie. Caso della dimensione 1 e 2. Costanti di struttura. Morfismi di algebre di Lie. |
| Giovedi' 8 marzo 2007 (1 ora) (E.A.) | Derivazioni di un'algebra di Lie. Rappresentazione aggiunta dell'algebra di lie. Esempi di algebre di Lie: gl(n,R), sl(n,R), so(n,R). |
| Martedi' 13 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Le algebre di Lie so(k,n-k),sp(n,R),u(n),su(n), sp(n). Somma semidiretta di algebre di Lie. Traslazioni destre e sinistre su un gruppo di Lie. L'algebra dei campi invarianti a sinistra su un gruppo di Lie. |
| Mercoledi' 14 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Campi F-riferiti su una varieta'. Cenni sulla dimostrazione del fatto che l'algebra di Lie di un gruppo di Lie e' isomorfa allo spazio tangente al gruppo nell'elemento neutro. Ogni gruppo di Lie e' un esempio di varieta' parallelizzabile. Determinazione dell'algebra di Lie di GL(n,R). |
| Giovedi' 15 marzo 2007 (1 ora) (E.A.) | Determinazione dell'algebra di Lie del gruppo di Heisenberg. |
| Martedi' 20 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Sottogruppo ad un parametro: definizione e proprieta'. Esponenziale di una matrice. Proprieta'. |
| Mercoledi' 21 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | L'esponenziale su Gl(n,R) non e' suriettiva: controesempio. La formula di Baker-Campbell-Hausdorff nel caso del gruppo di Heisenberg. L'esponenziale di un gruppo di Lie, definizione e prime proprieta'. |
| Martedi' 27 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Proprieta' dell'esponenziale. Relazioni tra un gruppo di Lie e la sua algebra. Primo e Secondo teorema di Lie. La definizione di sottogruppo di Lie di un gruppo di Lie. |
| Mercoledi' 28 marzo 2007 (2 ore) (E.A.) | Curve sul Toro. Teoremi relativi ai sottogruppi di Lie di un gruppo di Lie. Esempi. Esempio di un gruppo di Lie che non e' un gruppo di matrici. |
Martedi' 3 aprile 2007 (2 ore) (E.A.) | L'algebra di Lie di Aut(g) e' Der(g). Rappresentazione aggiunta dell'algebra di Lie e del gruppo di Lie: ad e Ad, legame e teoremi relativi. |
Martedi' 24 aprile 2007 (2 ore) (E.A.) | Centro di un'algebra di Lie e di un gruppo di Lie. La forma di Killing. Definizione, proprieta', esempi significativi. Definizione di Algebra e di Gruppo di Lie semisemplice e semplice. |
Giovedi' 26 aprile 2007 (1 ora) (E.A.) | Classificazione delle algebre di Lie (semi)semplici di dimensione 3. Proprieta' delle algebre di Lie semisemplici. |
Mercoledi' 2 maggio 2007 (2 ore) (E.A.) | Complessificazione di un'algebra di Lie reale: definizione, teoremi relativi, esempi. |